Kezdőlap


Feladat:	F.2657	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lancsa Hajnalka
Füzet:	1988/április, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: F.2657

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha köbre emeljük az eredeti egyenlet mindkét oldalát és a bal oldalt az

\begin{matrix} {(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) \end{matrix}

azonosság szerint alakítjuk át, akkor rendezés után a

\begin{matrix} 3 \sqrt[3]{2 x + 1} \sqrt[3]{4 - x} (\sqrt[3]{2 x + 1} + \sqrt[3]{4 - x}) = - (x + 8) \end{matrix}

(2)

egyenlethez jutunk. Itt (1) alapján a bal oldali zárójelben

- \sqrt[3]{3}

áll, és így

\begin{matrix} 3 \sqrt[3]{3 (2 x + 1) (4 - x)} = x + 8. \end{matrix}

(3)

Ismét köbre emelve és rendezve a harmadfokú

\begin{matrix} x^{3} + 186 x^{2} - 375 x + 188 = 0 \end{matrix}

(4)

egyenletet kapjuk. A bal oldalon az együtthatók összege nulla, az egyenletnek tehát gyöke az

1

, így az

(x - 1)

tényező kiemelése után a kapott másodfokú polinomot szorzattá alakítva végül az

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} (x + 188) = 0 \end{matrix}

(5)

egyenlet adódik. Ennek két gyöke van, az

1

és a

- 188

. Az eredeti egyenletnek az

1

nem megoldása, hiszen ha

x = 1

, akkor a bal oldal pozitív, a jobb oldal pedig negatív. A

(- 188)

megoldása az (1) egyenletnek.

Megjegyzés. Felmerül a kérdés, miért jelenik meg a ,,hamis gyök''. Két szám pontosan akkor egyenlő, ha a köbük az, így az egyenletek köbre emelése (a négyzetre emeléssel ellentétben) ekvivalens átalakítás. Tehát (1) és (2) ekvivalens egyenletek, csakúgy, mint (3) és (4). A hamis gyököt eszerint csak akkor kaphattuk, amikor a (2) egyenletbe visszahelyettesítettük az eredeti (1) összefüggést: ez nem szükségképpen ekvivalens átalakítás. Vegyük szemügyre általában: ha az

\begin{matrix} u (x) + v (x) - c = 0 \end{matrix}

helyett a köbreemelés és az

u (x) + v (x) = c

,,visszahelyettesítés'' után kapott

\begin{matrix} u^{3} (x) + v^{3} (x) + 3 u (x) \cdot v (x) \cdot c - c^{3} = 0 \end{matrix}

egyenletet oldjuk meg, akkor az

\begin{matrix} u^{3} + v^{3} - c^{3} + 3 u v c = \frac{1}{2} (u + v - c) [{(u - v)}^{2} + {(u + c)}^{2} + {(v + c)}^{2}] \end{matrix}

(6)

azonosságból látható, hogy a második tényező úgy is lehet nulla, hogy az első ‐ amely az eredeti (1) egyenlet rendezés után kapott bal oldala ‐ nem az. Ehhez az kell, hogy létezzék olyan

x_{0}

, amelyre

u (x_{0}) = v (x_{0}) \neq 0

, és az egyenlet jobb oldalán álló

c

konstans ennek a közös helyettesítési értéknek az ellentettje legyen.
Éppen ilyennek készült az (1) egyenlet, ahol

\begin{matrix} u (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}, v (x) = \sqrt[3]{4 - x} és c = - \sqrt[3]{3} . \end{matrix}

Itt

x_{0} = 1

-re valóban

u (x_{0}) = v (x_{0}) = - c \neq 0

, így ha

x_{0} = 1

, akkor (6)-ban a második tényező nulla, az első pedig nem az. Látható, hogy minden más,

- \sqrt[3]{3}

-tól különböző

c

értékre a visszahelyettesítéses módszer az eredetivel ekvivalens egyenletre vezet.
Az alábbi megoldás elkerüli a ,,kritikus''visszahelyettesítést.

II. megoldás. Az

u = \sqrt[3]{2 x + 1}

és a

v = \sqrt[3]{4 - x}

ismeretleneket bevezetve az

\begin{matrix} u + v = - \sqrt[3]{3}, \\ u^{3} + 2 v^{3} = 9 \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk.
Az első egyenletből

u = - (v + \sqrt[3]{3})

. Köbre emelve és

u^{3}

kapott alakját a második egyenletbe helyettesítve a

\begin{matrix} v^{3} - 3 \sqrt[3]{3} v^{2} - 3 \sqrt[3]{9} v - 4 \sqrt[3]{27} = 0 \end{matrix}

(7)

egyenletet kapjuk.
Az egyenlet bal oldala

\begin{matrix} v^{3} - {(\sqrt[]{3})}^{3} - 3 \sqrt[3]{3} (v^{2} + \sqrt[3]{3} v + {(\sqrt[3]{3})}^{2}) . \end{matrix}

A két köb különbségét szorzattá alakítva:

\begin{matrix} v^{3} - {(\sqrt[3]{3})}^{3} = (v - \sqrt[3]{3}) (v^{2} + \sqrt[3]{3} v + {(\sqrt[3]{3})}^{2}) . \end{matrix}

Az azonosan pozitív

(v^{2} + \sqrt[3]{3} v + {(\sqrt[3]{3})}^{2})

tényező kiemelhető, és így végül a

\begin{matrix} (v^{2} + \sqrt[3]{3} v + {(\sqrt[3]{3})}^{2}) \cdot (v - \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{3}) = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk, ahonnan

\begin{matrix} v = \sqrt[3]{4 - x} = 4 \sqrt[3]{3}, \end{matrix}

és így

x = - 188

.
Mivel most ekvivalens átalakításokat végeztünk, a

- 188

az eredeti (1) egyenletnek is megoldása.