Kezdőlap


Feladat:	F.2656	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fleiner Tamás , Hajnal Zoltán , Szamuely Tamás
Füzet:	1988/szeptember, 255 - 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Binomiális együtthatók, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: F.2656

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 1$ , akkor az összegnek 0 darab tagja van, ezért értéke nulla, így az állítás igaz. A továbbiakban legyen az $n$ legalább 3. A vizsgált összegben ekkor páros számú tag van, csoportosítsuk tehát párosával a tagokat úgy, hogy az egyes csoportokban

\begin{matrix} k^{n} + {(n - k)}^{n} szerepeljen. (k = 1, 2, ..., \frac{n - 1}{2}) \end{matrix}

(1)

Megmutatjuk, hogy (1) alatti összeg minden egész

k

-ra osztható

n^{2}

-tel, s ebből már következik a feladat állítása.
Fejtsük ki

{(n - k)}^{n}

-t a binomiális tétel alapján. Ekkor (1) így írható:

\begin{matrix} k^{n} + n^{n} - (\binom{n}{1}) n^{n - 1} \cdot k + ... + (\binom{n}{n - 1}) \cdot n \cdot k^{n - 1} - k^{n} = \\ = n^{n} - (\binom{n}{1}) n^{n - 1} \cdot k + ... + n \cdot n \cdot k^{n - 1} . \end{matrix}

A kapott összeg minden tagja osztható

n^{2}

-tel, így

k^{n} + {(n - k)}^{n}

is, és ezt akartuk bizonyítani.