Kezdőlap


Feladat:	F.2648	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jónás A. , Lancsa Hajnalka , Mezei J. , Péter I. , Szabó 668 T. , Szemerédi F.
Füzet:	1988/március, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: F.2648

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alkalmazzuk a befogótételt az $O_{1} A O_{2}$ és az $O_{1} C O_{2}$ derékszögű háromszögekre (1., 2. ábra):

\begin{matrix} O_{1} T_{1} = \frac{2^{2}}{O_{1} O_{2}} = \frac{4}{r + 2}; O_{2} T_{2} = \frac{r^{2}}{O_{1} O_{2}} = \frac{r^{2}}{r + 2} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

A tükrözés miatt

\begin{matrix} O_{1} O'_{1} = 2 O_{1} T_{1} = \frac{8}{r + 2} és O_{2} O'_{2} = 2 O_{2} T_{2} = \frac{2 r^{2}}{r + 2} . \end{matrix}

O'_{1} O'_{2}

szakasz hosszának felírásakor figyelembe kell vennünk, hogy az

O_{1},

O'_{1},

O'_{2},

O_{2}

pontok nem szükségképpen ebben a sorrendben helyezkednek el a két kör centrálisán, itt még az is lehetséges, hogy a tükörképpontok az

O_{1} O_{2}

szakaszon kívülre esnek (2. ábra). Mindenképpen fennáll viszont az

\begin{matrix} \vec{O'_{1} O'_{2}} = \vec{O'_{1} O_{1}} + \vec{O_{1} O_{2}} + \vec{O_{2} O'_{2}} = \vec{O'_{1} O_{1}} + \vec{O_{2} O'_{2}} - \vec{O_{2} O_{1}} \end{matrix}

(1)

vektoregyenlőség. Abból, hogy az

O'_{1}

O_{1} O_{2}

félegyenesen,

O'_{2}

pedig az

O_{2} O_{1}

félegyenesen van, következik, hogy az (1) jobb oldalán álló vektorok,

\vec{O'_{1} O_{1}},

\vec{O_{2} O'_{2}}

és

\vec{O_{2} O_{1}}

egyállásúak (3. ábra).

3. ábra

Ekkor az

O'_{1} O'_{2}

szakasz hossza az

\vec{O'_{1} O'_{2}}

vektor abszolút értékeként az alábbi módon fejezhető ki a felbontásban részt vevő vektorok hosszával:

\begin{matrix} | \vec{O'_{1} O'_{2}} | = O'_{1} O'_{2} = | O'_{1} O_{1} + O_{2} O'_{2} - O_{2} O_{1} |, \end{matrix}

(2)

ahol a jobb oldalon az abszolút érték jelen belül a három szakasz hossza áll. Az ezekre kapott összefüggések, valamint a feltételül adott

O'_{1} O'_{2} = 1

felhasználásával (2) az alábbi alakba írható :

\begin{matrix} 1 = | \frac{8 + 2 r^{2}}{r + 2} - (r + 2) | = | \frac{{(r - 2)}^{2}}{r + 2} |, azaz 1 = \frac{{(r - 2)}^{2}}{r + 2} . \end{matrix}

Innen az

r^{2} - 5 r + 2 = 0

egyenletet kapjuk, melynek gyökei

\frac{5 + \sqrt[]{17}}{2}

és

\frac{5 - \sqrt[]{17}}{2} .

Mivel lépéseink megfordíthatók, mindkét megoldás megfelel. A pontok sorrendje az első esetben

O_{1},

O'_{2},

O'_{1},

O_{2},

a másodikban pedig

O_{1},

O'_{2},

O_{2},

O'_{1}

(2. ábra).