A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy négyzetszám maradéka -gyel osztva vagy , így két négyzetszám összege nem adhat -gyel osztva maradékul -at. Négy, vagy annál több egymás utáni természetes szám között tehát van olyan, amelyik nem írható fel két négyzetszám összegeként, és így a legnagyobb értéke legfeljebb lehet. Megmutatjuk, hogy ez a legnagyobb érték éppen a : megadunk végtelen sok olyan, szomszédos számokból álló számhármast, amelyek elemei fölírhatók két négyzetszám összegeként. Hívjuk a továbbiakban az ilyen tulajdonságú számokat szépnek. Természetesnek tűnik az alakú hármasok vizsgálata, hiszen ezekben a második és a harmadik elem szép , és így elég megmutatnunk, hogy végtelen sok természetes számra szép. Egy Eulertől származó azonosság szerint szép számok szorzata is szép. Valóban | | (1) | Ha most szép, akkor és így az (1) azonosság szerint szép számok szorzataként maga is az. Elegendő tehát egyetlen olyan négyzetszámot találnunk, amelyre szép, mert a fentiek szerint ekkor , választással az sorozat minden egyes eleme szép. Mivel , ezért megfelelő. Az így kapott sorozat minden eleme szép, és így a számhármasok elemei minden pozitív egész -re előállnak két négyzetszám összegeként. A legnagyobb értéke tehát .
Megjegyzés: Könnyen látható, hogy a és a rákövetkező két természetes szám is megfelelő számhármast ad bármely pozitív egész -re, hiszen
Peremiczki István (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.) |