Kezdőlap


Feladat:	F.2647	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Peremiczki István
Füzet:	1988/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: F.2647

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy négyzetszám maradéka $4$ -gyel osztva $0$ vagy $1$ , így két négyzetszám összege nem adhat $4$ -gyel osztva maradékul $3$ -at. Négy, vagy annál több egymás utáni természetes szám között tehát van olyan, amelyik nem írható fel két négyzetszám összegeként, és így a $k$ legnagyobb értéke legfeljebb $3$ lehet.
Megmutatjuk, hogy ez a legnagyobb érték éppen a $3$ : megadunk végtelen sok olyan, szomszédos számokból álló számhármast, amelyek elemei fölírhatók két négyzetszám összegeként. Hívjuk a továbbiakban az ilyen tulajdonságú számokat szépnek.
Természetesnek tűnik az ${m^{2} - 1, m^{2}, m^{2} + 1}$ alakú hármasok vizsgálata, hiszen ezekben a második és a harmadik elem szép $(m^{2} + 0^{2}, m^{2} + 1^{2})$ , és így elég megmutatnunk, hogy $m^{2} - 1$ végtelen sok $m$ természetes számra szép.
Egy Eulertől származó azonosság szerint szép számok szorzata is szép. Valóban

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c)}^{2} + {(b d)}^{2} + {(a d)}^{2} + {(b c)}^{2} = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} . \end{matrix}

(1)

Ha most

m^{2} - 1

szép, akkor

\begin{matrix} {(m^{2})}^{2} - 1 = (m^{2} - 1) (m^{2} + 1), \end{matrix}

és így az (1) azonosság szerint

{(m^{2})}^{2} - 1

szép számok szorzataként maga is az.
Elegendő tehát egyetlen olyan

a^{2}

négyzetszámot találnunk, amelyre

a^{2} - 1

szép, mert a fentiek szerint ekkor

a_{0} = a

a_{n} = a_{n - 1}^{2}

választással az

a_{n}^{2} - 1

sorozat minden egyes eleme szép.
Mivel

8 = 3^{2} - 1 = 2^{2} + 2^{2}

, ezért

a = 3

megfelelő. Az így kapott

3^{2^{n}} - 1 (n ≧ 1)

sorozat minden eleme szép, és így a

\begin{matrix} {3^{2^{n}} - 1, 3^{2^{n}}, 3^{2^{n}} + 1} \end{matrix}

számhármasok elemei minden pozitív egész

n

-re előállnak két négyzetszám összegeként.
A

k

legnagyobb értéke tehát

3

Megjegyzés: Könnyen látható, hogy a

4 n^{4} + 4 n^{2}

és a rákövetkező két természetes szám is megfelelő számhármast ad bármely pozitív egész

n

-re, hiszen

\begin{matrix} 4 n^{4} + 4 n^{2} = {(2 n^{2})}^{2} + {(2 n^{2})}^{2}, \\ 4 n^{4} + 4 n^{2} + 1 = {(2 n^{2} + 1)}^{2} + 0^{2}, \\ 4 n^{4} + 4 n^{2} + 2 = {(2 n^{2} + 1)}^{2} + 1^{2} . \end{matrix}

Peremiczki István (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)