A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mindkét egyenlőség mindkét oldala akkor van értelmezve, ha az | | feltételek mindegyike teljesül. Azt állítjuk, hogy ezek mellett a feltételek mellett a két egyenlőség ekvivalens. Ezt úgy mutatjuk meg, hogy az elsőből ekvivalens átalakításokkal eljutunk a másodikhoz. Térjünk át az első egyenlőségben alapú logaritmusokra, felhasználva, hogy ha , , és , akkor . A bal oldal ekkor , a jobb oldal pedig | |
Feltételeink szerint , így a vele történő egyszerűsítés után kapott | | (1) | egyenlőség ekvivalens az eredetivel. Mivel , ezért (1) jobb oldalán a nevező nem nulla, tehát (1) pontosan akkor teljesül, ha | | (2) |
Tudjuk, hogy , , és mindegyike pozitív, így (2) akkor és csak akkor igaz, ha A logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű, ezért , esetén (3) a egyenlőséggel ekvivalens. Végül (4) nyilván pontosan akkor igaz, ha azaz | |
Beláttuk tehát, hogy amennyiben az első egyenlőség értelmes, akkor ekvivalens átalakításokkal valóban megkapható belőle a második, és ezzel a megoldást befejeztük.
|