Kezdőlap


Feladat:	F.2646	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/február, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Logaritmusos egyenletek, Egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: F.2646

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét egyenlőség mindkét oldala akkor van értelmezve, ha az

\begin{matrix} a > 0, b > 0, c > 0, t > 0, a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1, t \neq 1 és b \neq c \end{matrix}

feltételek mindegyike teljesül. Azt állítjuk, hogy ezek mellett a feltételek mellett a két egyenlőség ekvivalens. Ezt úgy mutatjuk meg, hogy az elsőből ekvivalens átalakításokkal eljutunk a másodikhoz.
Térjünk át az első egyenlőségben

t

alapú logaritmusokra, felhasználva, hogy ha

t > 0

t \neq 1

x > 0

és

x \neq 1

, akkor

log_{x} t = \frac{1}{log_{t} x}

. A bal oldal ekkor

\frac{log_{t} c}{log_{t} a}

, a jobb oldal pedig

\begin{matrix} \frac{\frac{1}{log_{t} a} - \frac{1}{log_{t} b}}{\frac{1}{log_{t} b} - \frac{1}{log_{t} c}} = \frac{log_{t} c}{log_{t} a} \cdot \frac{log_{t} b - log_{t} a}{log_{t} c - log_{t} b} . \end{matrix}

Feltételeink szerint

\frac{log_{t} c}{log_{t} a} \neq 0

, így a vele történő egyszerűsítés után kapott

\begin{matrix} 1 = \frac{log_{t} b - log_{t} a}{log_{t} c - log_{t} b} \end{matrix}

(1)

egyenlőség ekvivalens az eredetivel. Mivel

c \neq b

, ezért (1) jobb oldalán a nevező nem nulla, tehát (1) pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} log_{t} c - log_{t} b = log_{t} b - log_{t} a . \end{matrix}

(2)

Tudjuk, hogy

a

b

, és

c

mindegyike pozitív, így (2) akkor és csak akkor igaz, ha

\begin{matrix} log_{t} \frac{c}{b} = log_{t} \frac{b}{a} . \end{matrix}

(3)

A logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű, ezért

t > 0

t \neq 1

esetén (3) a

\begin{matrix} \frac{c}{b} = \frac{b}{a} \end{matrix}

(4)

egyenlőséggel ekvivalens. Végül (4) nyilván pontosan akkor igaz, ha

\begin{matrix} a c = b^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{a c} = b, hisz a, b és c pozitív számok. \end{matrix}

Beláttuk tehát, hogy amennyiben az első egyenlőség értelmes, akkor ekvivalens átalakításokkal valóban megkapható belőle a második, és ezzel a megoldást befejeztük.