Kezdőlap


Feladat:	F.2645	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csirik János
Füzet:	1988/február, 62 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: F.2645

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 1$ , akkor minden $x$ megoldás, hiszen $2 x - 1 + 1 - x \equiv x$ . Legyen tehát az $n \geq 2$ . A továbbiakban két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy az $n$ páros-e vagy páratlan.

1. eset. Az

n

páros. Ha

x > 1

, akkor

2 x - 1 > x > 0

, így

{(2 x - 1)}^{n} > x^{n}

és

{(1 - x)}^{n} \geq 0

(mert az

n

páros), tehát az egyenlet bal oldalán nagyobb szám áll, mint a jobb oldalán. Az

x = 1

megoldása az egyenletnek.
Ha

\frac{1}{2} < x < 1

, akkor legyen

a = 2 x - 1 > 0

és

b = 1 - x > 0

. A vizsgált egyenlet ekkor

a^{n} + b^{n} = {(a + b)}^{n}

alakú. A jobb oldalt a binomiális tétel alapján kifejtve könnyen belátható, hogy

\begin{matrix} {(a + b)}^{n} > a^{n} + b^{n}, ha n \geq 2, a > 0 és b > 0. \end{matrix}

(1)

Így tehát ebben az esetben sincs megoldás.

x = \frac{1}{2}

-re

2 x - 1 = 0

1 - x = x

, tehát

x = \frac{1}{2}

megoldás.
Végül ha

x < \frac{1}{2}

, akkor

| 1 - x | > | x |

, hiszen

1 - x > x

és

1 - x > - x

. Ekkor

{(1 - x)}^{n} = | 1 - x |^{n} > | x |^{n} = x^{n}

és

{(2 x - 1)}^{n} > 0

(mert

n

páros), tehát a bal oldal ismét nagyobb a jobb oldalnál.
Ha az

n

páros, akkor az egyenletnek két megoldása van:

x = \frac{1}{2}

és

x = 1

.
2. eset. Az

n

páratlan. Látható, hogy ha az egyenletben szereplő három elsőfokú polinom

(2 x - 1

1 - x

és

x)

valamelyike nulla, akkor egyenlőséget kapunk, így

x = \frac{1}{2}

x = 1

és

x = 0

megoldások.
Ha egyikük sem nulla, akkor a páratlan

n

-re fennálló

\begin{matrix} z^{n} = {(- z)}^{n} \end{matrix}

azonosság felhasználásával az egyenlet mindig

a^{n} + b^{n} = {(a + b)}^{n}

alakba rendezhető, ahol

a

és

b

pozitív.A tagok előjelét és az egyenlet ennek megfelelő átrendezéseit az alábbi táblázat tartalmazza:

\begin{matrix} 2 x - 1 & 1 - x & x & Bal oldal & Jobb oldal \\ 1 < x & + & - & + & {(2 x - 1)}^{n} & {(x - 1)}^{n} + x^{n} \\ \frac{1}{2} < x < 1 & + & + & + & {(2 x - 1)}^{n} + {(1 - x)}^{n} & x^{n} \\ 0 < x < \frac{1}{2} & - & + & + & {(1 - x)}^{n} & x^{n} + {(1 - 2 x)}^{n} \\ x < 0 & - & + & - & {(- x)}^{n} + {(1 - x)}^{n} & {(1 - 2 x)}^{n} \end{matrix}

Az (1)-ben megfogalmazott állítás szerint az egyenletnek a kéttagú összeget tartalmazó oldala kisebb, mint a másik, így nincsen a fent talált három gyöktől különböző megoldás.
Egyenletünknek tehát

n = 1

-re minden valós szám megoldása, ha pedig

n \geq 2

, akkor

x = \frac{1}{2}

és

x = 1

, továbbá páratlan

n

-re még

x = 0

is.

Csirik János (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. Páratlan

n

-re az

x = 0

megoldás. Ha

x \neq 0

, akkor

x^{n}

-nel való osztás után

\frac{1 - x}{x} = t

helyettesítéssel az

\begin{matrix} {(1 - t)}^{n} + t^{n} = 1 \end{matrix}

(2)

egyenlethez jutunk. Ha

f (t)

-vel jelöljük a bal oldalon álló függvényt, akkor

\begin{matrix} f^{n} (t) = n (n - 1) [{(1 - t)}^{n - 2} + t^{n - 2}] . \end{matrix}

Könnyen belátható, hogy ha

n > 1

, akkor

f^{n} (t) > 0

. Ez nyilvánvaló, ha az

n

páros, ha pedig az

n

páratlan, akkor az átrendezés után kapott

\begin{matrix} t^{n - 2} > {(t - 1)}^{n - 2} \end{matrix}

egyenlőtlenség a páratlan kitevőjű hatványfüggvény szigorú monotonitásából következik.

f

függvény tehát szigorúan konvex, és így tetszőleges értéket ‐ az

1

-et is ‐ legfeljebb kétszer vehet fel (ábra). Mivel

f (0) = f (1) = 1

, ezért ha

n > 1

, akkor a (2) egyenletnek pontosan két gyöke van, a

t = 0

és a

t = 1

, ahonnan az eredeti egyenlet nullától különböző gyökei

1

és

\frac{1}{2}