A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha , akkor minden megoldás, hiszen . Legyen tehát az . A továbbiakban két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy az páros-e vagy páratlan.
1. eset. Az páros. Ha , akkor , így és (mert az páros), tehát az egyenlet bal oldalán nagyobb szám áll, mint a jobb oldalán. Az megoldása az egyenletnek. Ha , akkor legyen és . A vizsgált egyenlet ekkor alakú. A jobb oldalt a binomiális tétel alapján kifejtve könnyen belátható, hogy | | (1) | Így tehát ebben az esetben sincs megoldás. -re , , tehát megoldás. Végül ha , akkor , hiszen és . Ekkor és (mert páros), tehát a bal oldal ismét nagyobb a jobb oldalnál. Ha az páros, akkor az egyenletnek két megoldása van: és . 2. eset. Az páratlan. Látható, hogy ha az egyenletben szereplő három elsőfokú polinom , és valamelyike nulla, akkor egyenlőséget kapunk, így , és megoldások. Ha egyikük sem nulla, akkor a páratlan -re fennálló azonosság felhasználásával az egyenlet mindig alakba rendezhető, ahol és pozitív.A tagok előjelét és az egyenlet ennek megfelelő átrendezéseit az alábbi táblázat tartalmazza:
Az (1)-ben megfogalmazott állítás szerint az egyenletnek a kéttagú összeget tartalmazó oldala kisebb, mint a másik, így nincsen a fent talált három gyöktől különböző megoldás. Egyenletünknek tehát n=1-re minden valós szám megoldása, ha pedig n≥2, akkor x=12 és x=1, továbbá páratlan n-re még x=0 is. Csirik János (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. Páratlan n-re az x=0 megoldás. Ha x≠0, akkor xn-nel való osztás után 1-xx=t helyettesítéssel az egyenlethez jutunk. Ha f(t)-vel jelöljük a bal oldalon álló függvényt, akkor | fn(t)=n(n-1)[(1-t)n-2+tn-2]. |
Könnyen belátható, hogy ha n>1, akkor fn(t)>0. Ez nyilvánvaló, ha az n páros, ha pedig az n páratlan, akkor az átrendezés után kapott egyenlőtlenség a páratlan kitevőjű hatványfüggvény szigorú monotonitásából következik.
Az f függvény tehát szigorúan konvex, és így tetszőleges értéket ‐ az 1-et is ‐ legfeljebb kétszer vehet fel (ábra). Mivel f(0)=f(1)=1, ezért ha n>1, akkor a (2) egyenletnek pontosan két gyöke van, a t=0 és a t=1, ahonnan az eredeti egyenlet nullától különböző gyökei 1 és 12.
|