Feladat: F.2643 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Binder Zsuzsanna ,  Csőreg S. ,  Cynolter G. ,  Hadnagy Éva ,  Hajnal Z. ,  Illés T. ,  Keleti T. ,  Madas P. ,  Majoros L. ,  Máté Nóra ,  Nagy 124 G. ,  Szabó 484 P. ,  Szalay Gy. ,  Szűcs G. ,  Talata I. ,  Tavaszi G. ,  Wiandt T. ,  Wolkensdorfer P. 
Füzet: 1987/december, 447 - 448. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Húrnégyszögek, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/május: F.2643

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Speciális esetek vizsgálata alapján azt sejthetjük, hogy a keresett R az E pontnak az e egyenesre vonatkozó tükörképe.

 
 
1. ábra
 

Legyen először a P pont k belsejében, de különbözzék O -tól. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az EOQ egyenlő szárú háromszögben OQP∢=OEP∢, az e egyenesre vonatkozó szimmetria miatt pedig ORP∢=OEP∢. Az OP szakasz tehát ugyanakkora szögben látszik a Q -ból és az R -ből. Mivel a Q és az R az OP egyenesnek ugyanazon a partján van, az O,P,Q és R pontok valóban egy körön vannak.
Nézzük ezután azt az esetet, amikor a P pont a k körön kívül van. Az előbbiekhez hasonlóan a 2/a ábra α -val jelölt szögei most is egyenlők, ezért OQP∢=180∘-α . Az OPQR négyszög tehát most is húrnégyszög.
 
 
2.a ábra
 

 
 
2.b ábra
 

Ha E a P és a Q között van (2/b ábra), akkor ha OQE∢=α, akkor ORP∢=180∘-α, és így OPQR most is húrnégyszög.
Hátravan még a következő három speciális eset vizsgálata:
a) P egybeesik O-val. Ekkor a P,Q,R pontok egy körön vannak, vagy azért, mert Q is egybeesik R-rel (3/a ábra), vagy pedig azért, mert P,Q, és R nem esnek egy egyenesre (3/b ábra).
 
 
3.a ábra
 

 
 
3.b ábra
 

b) P a k kör kerületén van. Ha magát a P pontot tekintjük a PE szelő és a kör második metszéspontjának, akkor P≡Q miatt O,P,Q és R most is egy körön vannak.
c) A PE egyenes a kör érintője. Ekkor E azonos Q-val, OEP∢ derékszög, és Thalész tétele szerint O,P,Q és R most is egy körön vannak (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

Ezzel megmutattuk, hogy O,P,Q és az E-nek az e egyenesre vonatkozó tükörképe a P minden lehetséges helyzetében egy körön vannak.