Kezdőlap


Feladat:	F.2641	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánkövi Johanna , Beke T. , Bereczky Á. , Bukszár J. , Dienes J. , Domokos P. , Gács A. , Hajdú G. , Hajnal Z. , Illés T. , Károlyi Gy. , Kelemen Eszter , Keleti T. , Kincses Z. , László A. , Madas P. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Rimányi R. , Szabó 484 P. , Szalay Gy. , Talata I. , Tasnádi T. , Tóth 178 G. , Varga Zs. , Veres E. , Wolkensdorfer P.
Füzet:	1987/november, 380. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények folytonossága, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: F.2641

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először belátjuk, hogy az 1/2 nem helyettesíthető más számmal. Legyen ugyanis csak két pont adva, mégpedig a szakasz végpontjai, $A$ és $B$ . Ekkor az $A B$ szakasz minden $X$ pontjának 1/2 az átlagtávolsága e két ponttól, más szám tehát valóban nem jöhet szóba. Ez a példa természetesen nemcsak két pontra jó, mivel a pontok nem szükségképpen különbözők (vehetem $n$ -szer az $A$ és $n$ -szer a $B$ pontot).
Az állítás első felének a bizonyításához helyezzük el az $A B$ szakaszt a számegyenesen úgy, hogy az $A$ a $0$ , a $B$ pedig az 1 pontba essék. Ekkor az $A B$ szakasz tetszőleges $x$ pontja pontosan $x$ távolságra van az $A$ -tól (azaz 0-tól). Legyen az adott véges sok pont: $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ , és legyen $x$ az $A B$ szakasz egy tetszőleges pontja. Ekkor $x$ távolsága az $x_{i}$ ponttól $| x - x_{i} |$ , tehát az adott $n$ ponttól vett átlagtávolságot $d (x)$ -szel jelölve

\begin{matrix} d (x) = \frac{{\sum_{i = 1}^{n}}_{}^{} | x - x_{i} |}{n} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy

| x - x_{i} |

folytonos függvény,

d (x)

tehát

n

db folytonos függvény összegének

n

-edrészeként maga is folytonos. Most vegyük észre, hogy minden

x_{i}

pontnak a 0 és az 1 ponttól vett távolságösszege

| x_{i} | + | 1 - x_{i} | = 1

(0 ≦ x_{i} ≦ 1)

, így

d (0) + d (1) = \frac{n}{n} = 1

. Ha most

d (0) = \frac{1}{2}

, akkor a 0 pont, tehát

A

(és ugyanígy az 1 pont, tehát

B

) megfelel a feladat követelményének. Ha

d (0) < \frac{1}{2}

, akkor

d (1) > \frac{1}{2}

, és így

d

folytonossága miatt van olyan

x

pont a 0 és az 1 között, amelyre

d (x) = \frac{1}{2}

. Ugyanez áll, ha

d (0) > \frac{1}{2}

(és d (1) < \frac{1}{2})

. A feladat állítását ezzel beláttuk.