Kezdőlap


Feladat:	F.2638	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Cynolter G. , Hajdú G. , Keleti T. , Majoros L. , Rimányi R. , Szalay Gy. , Tasnádi T. , Vörös T. , Zaránd G.
Füzet:	1987/december, 443 - 445. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: F.2638

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bevezetjük a következő jelöléseket:

\begin{matrix} s_{k} = x^{k} + y^{k} + z^{k} (k ≧ 0) \end{matrix}

és

\begin{matrix} a = x y + x z + y z, b = x y z . \end{matrix}

"Stratégiánk'' a következő: Ismerjük

x + y + z

értékét. Megmutatjuk, hogy ennek, valamint

a

-nak és

b

-nek a segítségével

s_{k}

tetszőleges

k

természetes számra kifejezhető. Minthogy

s_{3}

és

s_{7}

értékét ismerjük, így

a

-ra és

b

-re két egyenletet kapunk. Kiderül, hogy ez a kétismeretlenes egyenletrendszer már nagyon egyszerűen megoldható.
Írjuk fel először azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei éppen

x

y

és

z

\begin{matrix} (u - x) (u - y) (u - z) = 0. \end{matrix}

Ezt kifejtve és rendezve az

\begin{matrix} u^{3} = 2 u^{2} - a u + b \end{matrix}

(4)

egyenlethez jutunk. Ha tehát

x

y

z

a feladat egyenletrendszerének egy megoldás-hármasa, akkor bármelyikük gyöke lesz (4)-nek, sőt az abból

u

hatványaival való szorzással nyerhető

\begin{matrix} u^{k} = 2 u^{k - 1} - a u^{k - 2} + b u^{k - 3} (k ≧ 3) \end{matrix}

egyenleteknek is.
Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} x^{k} & = 2 x^{k - 1} - a x^{k - 2} + b x^{k - 3}, \\ y^{k} & = 2 y^{k - 1} - a y^{k - 2} + b y^{k - 3}, \\ z^{k} & = 2 z^{k - 1} - a z^{k - 2} + b z^{k - 3}, k ≧ 3. \end{matrix}

E három egyenletet összeadva az

\begin{matrix} s_{k} = 2 s_{k - 1} - a s_{k - 2} + b s_{k - 3,} k ≧ 3 \end{matrix}

(5)

összefüggést kapjuk. Így szép sorban ki tudjuk számítani

s_{3}

s_{4}

s_{5}

s_{6}

s_{7}

értékét

a

és

b

segítségével, hiszen

s_{0} = 3, s_{1} = 2

adott, innen

\begin{matrix} s_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x + y + z)}^{2} - 2 (x y + x z + y z) = 4 - 2 a . \end{matrix}

Nézzük, mit ad (5)

s_{3}

-ra !

\begin{matrix} s_{3} = 2 s_{2} - a s_{1} + b s_{0} = 2 (4 - 2 a) - 2 a + 3 b . \end{matrix}

(2) szerint

s_{3} = 20

, amit beírva az egyszerűsítés után a

b = 4 + 2 a

összefüggéshez jutunk.
Kezdeti programunk tehát lényegesen egyszerűsödik:

s_{k}

most kifejezhető csupán az

a

segítségével is:

\begin{matrix} s_{k} = 2 s_{k - 1} - a s_{k - 2} + (4 + 2 a) s_{k - 3,} k ≧ 3. \end{matrix}

(5')

Ezt rendre

k = 4, 5, 6, 7

-re alkalmazva :

\begin{matrix} s_{4} & = 2 s_{3} - a s_{2} + (4 + 2 a) s_{1} = 40 - a (4 - 2 a) + 2 (4 + 2 a) = 48 + 2 a^{2} . \\ s_{5} & = 2 s_{4} - a s_{3} + (4 + 2 a) s_{2} = 2 (48 + 2 a^{2}) - 20 a + (4 + 2 a) (4 - 2 a) = 112 - 20 a . \\ s_{6} & = 2 s_{5} - a s_{4} + (4 + 2 a) s_{3} = 2 (112 - 20 a) - a (48 + 2 a^{2}) + (4 + 2 a) \cdot 20 = \\ = 304 - 48 a - 2 a^{3} . \\ s_{7} & = 2 s_{6} - a s_{5} + (4 + 2 a) s_{4} = 2 (304 - 48 a - 2 a^{3}) - a (112 - 20 a) + \\ + (4 + 2 a) (48 + 2 a^{2}) = 800 - 112 a + 28 a^{2} . \end{matrix}

Minthogy

s_{7} = 2060

értéke ismert,

a

-ra másodfokú egyenletet kapunk. Az egyszerűsítés után

a^{2} - 4 a - 45 = 0,

ahonnan

a_{1} = - 5

vagy

a_{2} = 9.

Utóbbi nem ad. valós

x, y, z

megoldást, mert

0 ≦ s_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 - 2 a = - 14

lehetetlen. Így

a

-ra, tehát

b

-re is csak egy-egy valós megoldást kapunk:

a = - 5, b = - 6.

Az a harmadfokú egyenlet tehát, amelynek megoldásai éppen a feladat egyenletrendszerének

x, y, z

megoldáshármasa :

\begin{matrix} u^{3} - 2 u^{2} + 6 = 0, \end{matrix}

s ennek megoldásai

1

- 2

és

3

. Egyenletrendszerünk lehetséges megoldásait tehát e három szám hat permutációjaként kapjuk :

\begin{matrix} x_{1} & = 3; & x_{2} & = 3; & x_{3} & = 1; & x_{4} & = 1; & x_{5} & = - 2; & x_{6} & = - 2 \\ y_{1} & = 1; & y_{2} & = - 2; & y_{3} & = 3; & y_{4} & = - 2; & y_{5} & = 3; & y_{6} & = 1 \\ z_{1} & = - 2; & z_{2} & = 1; & z_{3} & = - 2; & z_{4} & = 3; & z_{5} & = 1; & z_{6} & = 3. \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy e számhármasokra

s_{1} = 2, s_{3} = 20, s_{7} = 2060,

a feladat egyenletrendszerének tehát valóban megoldásai.

Megjegyzés. Érdekes megfigyelni, hogy bár

s_{7}

hetedfokú polinom, mégis fel tudtuk írni az

a

másodfokú polinomjaként, holott

a

csak másodfokú (kettős szorzatokból áll). Azért tudtuk most a fokszámot csökkenteni, mert ismertük

s_{1}

és

s_{3}

értékét. Ugyanez a helyzet

s_{5}

-nél, ahol a jobb oldal

a

-ban csak elsőfokú. Viszont sem

s_{4}

-nél, sem

s_{6}

-nál nem csökkent a fokszám. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha (

s_{7}

, értékének ismerete nélkül) tovább folytatnánk az

s_{k}

kifejezését

a

-val, páros

k

esetén

a

-nak mindig

\frac{k}{2}

-edfokú polinomját kapnánk, ahol

a^{k / 2}

együtthatója felváltva

+ 2

és

- 2

, páratlan

k

esetén viszont (éppen ezért) a fokszám csökken:

\frac{k - 3}{2}

-edfokú lesz

a

-ban. Így pl. elvileg megoldható egy olyan egyenletrendszer, ahol

s_{7}

helyett

s_{11}

értéke van megadva, de nem mindig oldható meg, ha

s_{10},

hiszen a negyedfokú egyenlet megoldására van, az ötödfokúéra pedig nincs általános eljárás. (Mindez érvényes attól függetlenül is, hogy

s_{1}

és

s_{3}

konkrét értékét hogy adjuk meg.)

II. megoldás. Legyen most is

a = x y + y z + z x

és

b = x y z .

Ezúttal is

a

és

b

értékét, tehát annak a harmadfokú

\begin{matrix} u^{3} - 2 u^{2} + a u - b \end{matrix}

polinomnak az együtthatóit határozzuk meg, amelynek a kitűzött egyenletrendszer

x, y, z

megoldása a gyökhalmaza. Ehhez az alábbi azonosságokat használjuk fel.

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{3} - (x^{3} + y^{3} + z^{3}) = 3 (x + y) (y + z) (z + x) = & (6) \\ = (x + y + z) (x y + y z + z x) - x y z . \\ {(x + y + z)}^{7} + (x^{7} + y^{7} + z^{7}) = & (7) \\ = 7 (x + y) (y + z) (z + x) [{(x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + z x)}^{2} + x y z (x + y + z)] . \end{matrix}

(6) és (7) bal oldala (1), (2), (3) alapján

- 12

, illetve

- 1932

. Így (6)-ból

\begin{matrix} (x + y) (y + z) (z + x) = - 4, \end{matrix}

ahonnan (7) szerint

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + z x)}^{2} + 2 x y z = 69 \end{matrix}

adódik.
A talált összefüggések bal oldala felírható

a

b

és

x + y + z = 2

segítségével, és így a

\begin{matrix} 2 a - b = - 4 \end{matrix}

\begin{matrix} {(4 - a)}^{2} + 2 b = 69 \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. Ennek két megoldása van,

a_{1} = 9

b_{1} = 22,

illetve

a_{2} = - 5

b_{2} = - 6.

Az első megoldás nyomán kapott harmadfokú polinom,

u^{3} - 2 u^{2} + 9 u - 22

szigorúan monoton növő, így csak egy valós gyöke van, ilyenkor tehát nem kapunk valós megoldást.
A második esetben az

u^{3} - 2 u^{2} - 5 u + 6 = 0

egyenletet kapjuk. Ennek gyökei

1

- 2

és

3

, és így az egyenletrendszer hat megoldása

\begin{matrix} x_{1} & = 3; & x_{2} & = 3; & x_{3} & = 1; & x_{4} & = 1; & x_{5} & = - 2; & x_{6} & = - 2 \\ y_{1} & = 1; & y_{2} & = - 2; & y_{3} & = - 2; & y_{4} & = 3; & y_{5} & = 3; & y_{6} & = 1 \\ z_{1} & = - 2; & z_{2} & = 1; & z_{3} & = 3; & z_{4} & = - 2 & z_{5} & = 1; & z_{6} & = 3. \end{matrix}