Feladat: F.2637 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baross Cs. ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zsuzsanna ,  Cynolter G. ,  Hajnal Z. ,  Majoros L. ,  Szabó 668 T. ,  Szalay Gy. ,  Talata I. ,  Tasnádi I. ,  Vörös T. ,  Wiandt T. ,  Zsigmond L. 
Füzet: 1987/november, 378 - 379. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Analógia, mint megoldási módszer, Alakzatok szimmetriái, Gömbi geometria, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/április: F.2637

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

E feladat kitűzésekor, lapunk 1987/4. számában jelent meg a Sokszögek a gömbön című cikk. A megoldás során fölhasználjuk az ott leírtakat.

 
 

Legyenek a gömbi négyszög csúcsai A, B, C, D, a gömb középpontja pedig O. Ha az A, B, C, D pontok egy főkörön vannak, a feladat állítása nyilvánvaló, hiszen ekkor a gömbi négyszög minden szöge π. Tegyük föl ezután, hogy az A, B, C, D pontokat tartalmazó kör nem főkör, és legyen a középpontja K. Az O kezdőpontú OK félegyenes messe a gömböt P-ben. Mivel OK merőleges a négyszög csúcsait tartalmazó síkra, PA⌢=PB⌢=PC⌢=PD⌢. Ezért pl. a PAB gömbháromszög egyenlő szárú. Az egyenlő szárakkal szemben gömbháromszögben is egyenlő szögek vannak, amit itt abból láthatunk, hogy az OP-re illeszkedő, AB-re merőleges sík a gömbháromszög szimmetriasíkja. Így PAB∢=PBA∢. Jelöljük ezt a szöget α-val. Hasonló igaz az ábrán β, γ, δ-val jelölt szögekre. Tekintsük ezután az A-val a gömbön átellenes A' pontot. Mivel az A és D, valamint az A és P, továbbá az A és B pontokon átmenő főkörök mindegyike átmegy az A' ponton, a cikkben mondott szögdefiníció szerint a gömbi négyszög A-nál lévő szöge α+δ. Hasonlót mondhatunk a másik három csúcsnál lévő szögekről. Így a gömbi négyszög bármelyik két szemközti szögének összege α+β+γ+δ, tehát igaz a feladat állítása.