|
Feladat: |
F.2636 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Csűrös M. , Domokos P. , Eckert B. , Farnadi Á. , Fazekas Zs. , Gács A. , Hadnagy Éva , Hahn Zsuzsa , Hajnal Z. , Illés T. , Jalsovszky P. , Kelemen Eszter , Keleti T. , Kiss 303 B. , Kovács 475 P. , Kovács 969 T. , Kovács Á. , Lovro Adrienn , Márton Zs. , Máté Nóra , Mikusi Cs. , Németh L. , Németh V. , Pongor G. , Rimányi R. , Schmidt E. , Szabó 668 T. , Szabó Péter , Szalay Gy. , Szepesi Zsuzsanna , Talata I. , Tornyi L. , Tóth 178 G. , Varga Zs. , Vörös P. , Zsigmond L. |
Füzet: |
1987/november,
376 - 378. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Trapézok, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/április: F.2636 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a szabályos háromszög oldalát -val, az szöget pedig -val (1. ábra).
1. ábra Ekkor és . Az ábra derékszögű háromszögeiből:
A téglalapból megmaradó három derékszögű háromszög területe így
Bebizonyítjuk, hogy az első két terület összege ugyanannyi, mint a harmadik.
ahol az utolsó lépésben fölhasználtuk a azonosságot. Figyelembe véve, hogy , a területek összegére kapott előbbi kifejezésünk így alakul: | | ami valóban az háromszög területe. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. II. megoldás. Ismét azt mutatjuk meg, hogy az háromszög területe egyenlő az és háromszögek területének összegével. E derékszögű háromszögek átfogója egyenlő, ezért elegendő belátni, hogy az utóbbi két háromszögben az átfogóhoz tartozó magasságok összege az háromszög átfogóhoz tartozó magasságával egyenlő. Forgassuk el az háromszöget az , az háromszöget pedig az csúcsa körül -kal úgy, hogy az előbbi háromszög , az utóbbinak pedig az oldala menjen át az oldalba. Az egyes elforgatások után a és a képe legyen illetve (1. ábra). Az elforgatott háromszögek derékszögű csúcsa, a és a rajta van az szakasz Thalész-körén, csakúgy mint a csúcs, ezért a háromszög körülírt körének középpontja az szakasz felezőpontja. Megmutatjuk, hogy ennek a háromszögnek súlypontja is, vagyis a háromszög szabályos. A -os elforgatás miatt , a húrnégyszögben tehát valóban, és hasonlóan kapjuk, hogy .
2. ábra Tekintsük ezután a háromszöget a súlypontján áthaladó egyenessel, és használjuk a 2. ábra jelöléseit. Ezen az ábrán az háromszög átfogóhoz tartozó magassága, és pedig ugyanilyen magasság az , illetve az háromszögben. A bevezetőben mondottak szerint azt kell megmutatnunk, hogy Az ábráról leolvasható, hogy a trapéz középvonala, Az hasonlóságból: s mivel a jobb oldal 2 ‐ hiszen súlypont ‐ (2) és (3)-ból következik (1), amit bizonyítani akartunk.
Megjegyzés. Fölmerülhet a kérdés, vajon mely téglalapokból vágható ki a feladat követelményei szerinti szabályos háromszög. Világos, hogy -ra , azaz . A téglalap oldalainak aránya | | vagyis a egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. |
|