|
Feladat: |
F.2635 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Babos Cs. , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Cynolter G. , Dienes J. , Hajdú G. , Keleti T. , Szalay Gy. , Tasnádi T. , Veres E. , Vörös T. |
Füzet: |
1988/január,
12 - 14. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/április: F.2635 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. (1)-ben helyébe rendre -et, -et, -et és -et helyettesítve a következő egyenlőtlenségeket írhatjuk fel:
Az első két egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeadva és kettővel osztva a a harmadik és a negyedik egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeadva és néggyel szorozva pedig a egyenlőtlenséghez jutunk. Az első és harmadik egyenlőtlenség összegét nyolccal szorozva a (3)-at és (4)-et összeadva és hárommal osztva a (3) négyszeresét (4)-hez adva majd hárommal osztva a végül (4) és (5) összegét hattal osztva a egyenlőtlenséget kapjuk. Az függvény képe egyenes vagy parabola attól függően, hogy értéke , vagy sem. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy . Ekkor a függvény konvex, és ha , akkor az helyen minimuma van. Most két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy ez a minimumhely kívül esik-e a intervallumon, vagy sem. Az első esetben ‐ valamint ha , amikor is nem létezik minimum ‐ az monoton a intervallumban, így szélsőértékeit az intervallum végpontjaiban veszi fel. Az függvény tehát ebben az intervallumban szintén valamelyik végpontban veszi fel a maximumát, így elég belátnunk, hogy (2) fennáll a intervallum végpontjaiban, azaz | |
Ha a (8) egyenlőtlenség kétszeresét hozzáadjuk a (3) egyenlőtlenséghez, akkor éppen az első bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk : A -beli érték becsléséhez előbb adjuk össze a megoldás elején felírt második és negyedik egyenlőtlenséget. Az eredményt nyolccal szorozva az (5)-höz hasonló egyenlőtlenséghez jutunk. Ezt (4)-hez adva és egyszerűsítve kapjuk, hogy Most ennek kétszereséhez adva a (3) egyenlőtlenséget, éppen a kívánt összefüggéshez jutunk: Az az eset maradt még hátra, amikor és a parabola csúcsa, tehát az hely a intervallumba esik. Függvényünk ekkor továbbra is a intervallum valamelyik végpontjában veszi föl a maximumát, a minimumát viszont a helyen. Az függvény maximuma tehát vagy , vagy , ill. , vagy pedig . Az első két értékről már láttuk, hogy nem nagyobbak -nél, meg kell még mutatnunk, hogy ez a harmadikra is igaz. Nyilvánvaló, hogy (felhasználtuk, hogy a intervallumban van). Itt (6) szerint, míg | | (Az utóbbi egyenlőtlenség (8) és (8') összege.) Innen pedig a bizonyítandónál erősebb egyenlőtlenség adódik. Beláttuk tehát, hogy ha (1) igaz, akkor az függvény maximum- és minimumhelyein a függvény abszolút értéke soha nem haladja meg a -et, ebből pedig a feladat állítása már következik. Könnyen látható az is, hogy csak az intervallum végpontjaiban állhat fenn, s ehhez szükséges, hogy a (7) egyenlőtlenségben , a (3) egyenlőtlenségben pedig teljesüljön, végül (8)-ban vagy (8')-ben is egyenlőség álljon. Innen a következő lehetőségek adódnak:
Végül és miatt csak lehet. A feladat állítása tehát csak a (az ún. harmadfokú Csebisev-polinom) és annak ellentettje, a polinom esetén lehet éles, feltéve, hogy fennáll rájuk az (1) egyenlőtlenség. Ezt is ellenőrizhetjük: ha a intervallumba esik, akkor van olyan , amelyre , s erre a -re , ennek abszolút értéke pedig valóban legföljebb 1. A feladat állítása tehát éles; a és a teljesíti (1)-et, s ha értéke vagy , akkor (2)-ben valóban egyenlőség áll.
|
|