Kezdőlap


Feladat:	F.2634	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baboss Cs. , Benczúr A. , Binder Zsuzsanna , Cynolter G. , Dienes J. , Dienes János , Gács A. , Hadnagy Éva , Hajdú G. , Jalsovszky P. , Kecskés K. , Keleti T. , Kiss 303 B. , Lovro Adrienn , Majoros L. , Mikusi Cs. , Rimányi R. , Szalay Gy. , Szepesi Zsuzsanna , Tasi Andrea , Veres E. , Vörös T. , Wiandt T. , Zsigmond L.
Füzet:	1987/november, 375 - 376. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: F.2634

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) bal oldalán lévő tagokban térjünk át tetszőleges, 1-nél nagyobb alapú logaritmusra és jelöljük ezt a "log'' szimbólummal.
Ekkor a következő, az (1)-gyel ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} \frac{log a}{log (b + c)} + \frac{log b}{log (c + a)} + \frac{log c}{log (a + b)} ≧ \frac{3}{2} . \end{matrix}

(2)

Ennek igazolásához fölhasználhatjuk a következő egyszerű tényt: ha

x ≧ 2

és

y ≧ 2

, akkor

x y ≧ x + y

. Ez valóban igaz, hiszen

\begin{matrix} x y - x - y + 1 ≧ 1 \end{matrix}

azonnal látszik az

\begin{matrix} (x - 1) (y - 1) ≧ 1 \end{matrix}

alakból.
Ezt fölhasználva a (2) bal oldalát csökkentjük, ha a nevezőkben az összegek helyett a tagok szorzatát írjuk. Elegendő tehát azt megmutatni, hogy

\begin{matrix} \frac{log a}{log b c} + \frac{log b}{log c a} + \frac{log c}{log a b} ≧ \frac{3}{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{log a}{log b + log c} + \frac{log b}{log c + log a} + \frac{log c}{log a + log b} ≧ \frac{3}{2} . \end{matrix}

Vezessük be a

log a = A

log b = B

log c = C

jelöléseket. Ekkor a bizonyítandó állítás a következő alakot ölti:

\begin{matrix} \frac{A}{B + C} + \frac{B}{C + A} + \frac{C}{A + B} ≧ \frac{3}{2}, \end{matrix}

(3)

ahol

A

B

és

C

tetszőleges pozitív számok.
Legyen ezután

\begin{matrix} B + C = x \\ C + A = y \\ A + B = z . \end{matrix}

Ezt a három egyenletet összeadva:

2 A + 2 B + 2 C = x + y + z

, ahonnan az első egyenletet fölhasználva:

2 A + 2 x = x + y + z

, és így

\begin{matrix} A = \frac{1}{2} (- x + y + z) \end{matrix}

adódik.
Hasonlóan kapjuk, hogy

B = \frac{1}{2} (x - y + z)

és

C = \frac{1}{2} (x + y - z)

.
Ezután (3) így alakul:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{- x + y + z}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x - y + z}{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x + y - z}{z} ≧ \frac{3}{2} . \end{matrix}

Mindkét oldalt 2-vel szorozva és alkalmasan csoportosítva:

\begin{matrix} (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + (\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) ≧ 6 \end{matrix}

adódik, ami már nyilvánvaló, hiszen

x

y

z

pozitív számok, és így pl.

\begin{matrix} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} ≧ 2, \end{matrix}

ami jól ismert helyes egyenlőtlenség.
A jelölésekre visszatekintve azt is látjuk, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

a = b = c = 2

Dienes János (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., III. o .t.)