Kezdőlap


Feladat:	F.2631	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/november, 372 - 373. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Alakzatok szimmetriái, Tengelyes tükrözés, Ceva-tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: F.2631

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzunk a $C$ csúcson keresztül párhuzamost a szemközti $A B$ oldallal és messe ez a $D V$ és a $D U$ egyeneseket az $S$ , illetve a $T$ pontban.

Megmutatjuk, hogy a

C

pont felezi az

S T

szakaszt. Ebből a bizonyítandó állítás már következik, ugyanis ekkor

C D

az egyenlő szárú

T D S

háromszög szimmetriatengelyeként felezi a

T D S ∢

szöget és így egyenlő szögek pótszögeiként valóban

A D V ∢ = B D U ∢

.
A

C V S

és az

A V D

háromszögek nyilván hasonlók, így

\frac{C S}{C V} = \frac{A D}{A V}

, azaz

C S = C V \cdot \frac{A D}{B V}

, és ugyanígy kapjuk, hogy

T C = C U \frac{D B}{U B}

.
A bizonyítandó

C S = T C

egyenlőség így a

C U \frac{D B}{U B} = C V \frac{A D}{A V}

alakot ölti, ami akkor és csak akkor igaz, ha

\begin{matrix} \frac{C U}{U B} \cdot \frac{D B}{A D} \cdot \frac{A V}{C V} = 1, \end{matrix}

ez pedig nem más, mint Ceva tétele a

P

ponton átmenő Ceva szakaszokra. (Mivel az

A B C

háromszög hegyesszögű, a

P

belső pont, így a tétel alkalmazható.)

Megjegyzések. 1. A megoldások nagy része a Ceva-tételből kiindulva a szinusztétel többszöri alkalmazásával jutott el a bizonyítandó állításhoz. Egy másik megoldási lehetőség, ha a háromszöget egy

D

origójú,

D C

és

A B

tengelyű koordináta-rendszerben helyezzük el, majd felírjuk a

D U

és a

D V

egyenesek iránytangensét.
2. Ismeretes, hogy hegyesszögű háromszög magasságai felezik a talpponti háromszög szögeit. A feladat ennek a tételnek az általánosítása.
3. A megoldás során felhasznált Ceva-tétel bizonyítása megtalálható például H. M. S. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újrafelfedezett geometria (Gondolat Kiadó, 1977.) c. könyvének 18‐20. oldalán.