Kezdőlap


Feladat:	F.2630	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/november, 370 - 372. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani közép, Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: F.2630

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt bizonyítjuk, hogy ha $M A$ és $M B$ harmadolják az $O_{1} M O_{2}$ szöget, akkor fönnáll az érintőszakaszoknak a feladatban mondott mértani közép tulajdonsága (az állítás "csak akkor'' része). A föltevés miatt egyenlő szögeket az ábrán $α$ -val jelöltük.

M O_{1} B

és az

M O_{2} A

háromszögek egyenlő szárúak, és így

O_{1} B M ∢ = 2 α = O_{2} A M ∢

. Az

A B M

háromszögben tehát

A M = B M

, hiszen az

A B

oldalon fekvő két szög egyenlő. Az

O_{1} A M

háromszög

M

csúcsánál lévő szöge

α

A

-nál fekvő külső szöge

2 α

, ezért

M O_{1} A ∢ = α

. Így ez a háromszög is egyenlő szárú, és

O_{1} A = A M

. Ugyanígy látható be, hogy

O_{2} B = B M

, és amint láttuk

A M = B M

, tehát

O_{1} A = O_{2} B

. Ebből viszont azonnal adódik, hogy a körök sugara egyenlő. Jelöljük

r_{1}

és

r_{2}

közös értékét

r

-rel, az

O_{1} O_{2}

szakasz hosszát pedig

d

-vel.
Az

O_{1} O_{2} M

és

M O_{2} B

háromszögek hasonlók, hisz szögeik páronként egyenlők. Ezért

\begin{matrix} \frac{d}{r} = \frac{r}{d - r}, azaz d^{2} - r^{2} = d r . \end{matrix}

e_{1}

-gyel jelöljük az

O_{1}

-ből a

k_{2}

körhöz húzott érintőszakasz hosszát, akkor ismeretes, hogy

e_{1}^{2} = d^{2} - r^{2}

, tehát előbbi eredményünk szerint

e_{1}^{2} = d r

, és ezt kellett bizonyítanunk. A körök egybevágósága miatt ekkor ugyanez természetesen az

O_{2}

-ből a

k_{1}

-hez húzott

e_{2}

érintőre is igaz.
Ezután az állítás "akkor'' részét bizonyítjuk, vagyis azt, hogy ha fennáll az érintőszakaszok mértani közép tulajdonsága, akkor

M A

és

M B

harmadolja az

O_{1} M O_{2}

szöget.
A feltételek szerint

e_{1}^{2} = d r_{1}

és

e_{2}^{2} = d r_{2}

. Az érintők négyzetét a centrális (

d

) és a sugarak segítségével kifejezve:

\begin{matrix} d^{2} - r_{2}^{2} = d r_{1} és d^{2} - r_{1}^{2} = d r_{2} . \end{matrix}

(1)

E két egyenlet különbségéből:

\begin{matrix} r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = d (r_{2} - r_{1}), azaz (r_{2} - r_{1}) (r_{2} + r_{1} - d) = 0. \end{matrix}

Mivel a két kör metszi egymást,

r_{2} + r_{1} > d

, ezért

r_{2} = r_{1}

. A közös értéket jelöljük most is

r

-rel.
(1) bármelyik egyenlete szerint

d^{2} - r^{2} = d r

, amiből

d^{2} - d r = r^{2}

és így

\frac{d}{r} = \frac{r}{d - r}

. Ez azt jelenti, hogy az

O_{1} O_{2} M

és az

O_{2} M B

háromszögekben két‐két megfelelő oldal aránya megegyezik.
Tekintve, hogy közbezárt szögük ‐ a

B O_{2} M ∢

‐ is ugyanaz, a két háromszög hasonló. De akkor

B O_{2} = B M

, hiszen

r_{1} = r_{2}

miatt az

O_{1} O_{2} M

háromszög egyenlő szárú. Ugyanígy megmutatható, hogy

O_{1} A = A M

, és

B O_{2} = r - A B = A O_{1}

miatt

A M = B M

is teljesül. Ha most

α

-val jelöljük a

B O_{2} M

szöget, rögtön láthatjuk, hogy

A O_{1} M ∢ = A M O_{1} ∢ = B M O_{2} ∢ = α

is igaz, továbbá az

A B M

egyenlő szárú háromszögben az

A B

alapon fekvő szögek nagysága

2 α

. De ekkor

A M O_{2} ∢ = 2 α

, vagyis

A M B ∢ = α

.
Ezzel megmutattuk, hogy ha (1) fennáll, akkor

M A

és

M B

valóban harmadolják az

O_{1} M O_{2}

szöget.

Megjegyzések. 1. A megoldásból kiderül, hogy a feladat feltételei csak egyenlő sugarú körökben teljesülnek.
2. A bizonyítás során

α

-val jelölt szöget nem kellett kiszámítanunk, de látjuk, hogy

5 α = 180^{\circ}

, tehát

α = 36^{\circ}

. Az

A M O_{2}

háromszög olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek az alappal szemközti szöge

36^{\circ}

. Ezt a háromszöget az

M B

szögfelezője két egyenlő szárú háromszögre bontja, amelyek egyike hasonló az eredetihez. Könnyen megmutatható, hogy ez fordítva is igaz, vagyis érvényes a következő: Ha egy egyenlő szárú háromszöget az alapon fekvő egyik szög szögfelezője két egyenlő szárú háromszögre vág szét, akkor az alappal szemközti szög

36^{\circ}

. A bizonyítást az olvasóra hagyjuk.
3. A fenti egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeinek nagysága

72^{\circ}

. Ekkora szöget zár be egy szabályos ötszög körülírt körének két szomszédos csúcsba mutató sugara. Az ilyen egyenlő szárú háromszög szerkesztése tehát egyenértékű a szabályos ötszög megszerkesztésével.