Kezdőlap


Feladat:	F.2628	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baboss Cs. , Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Bukszár J. , Csáki Cs. , Cynlter G. , Eckert B. , Gács A. , Hajdú G. , Hajnal Z. , Horváth 963 J. , Károlyi Gy. , Keleti T. , Klug R. , László A. , Majoros L. , Nagy 124 G. , Nagy 888 Sz. , Pál G. , Rimányi R. , Somoskői A. , Szabó 484 P. , Szabó 639 A. , Szalay Gy. , Tasnádi T. , Tóth 178 G. , Varga 214 G. , Varga G. , Wiandt T.
Füzet:	1987/november, 369. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: F.2628

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy $a_{n} = \sqrt[]{n + \sqrt[]{n + ... + \sqrt[]{n}}} ≧ \sqrt[]{n}$ , hiszen $\sqrt[]{x}$ szigorúan monoton nő, ha $x > 0$ . Ebből $\sqrt[]{n} > 0$ miatt következik, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{n}}{\sqrt[]{n}} ≧ 1. \end{matrix}

(1)

Most belátjuk, hogy

a_{n} < \sqrt[]{n} + 1

, ha

n ≧ 1

. Ennél még kicsit többet állítunk. Ha

a_{k} (n)

jelöli azt a

\sqrt[]{n + ... + \sqrt[]{n}}

kifejezést, amelyben a gyökjelek száma

k

, akkor

k

-tól függetlenül

a_{k} (n) < \sqrt[]{n} + 1

. Ezt a

k

-ra vonatkozó indukcióval bizonyítjuk.

k = 1

-re az állítás triviális:

a_{1} (n) = \sqrt[]{n} + 1

. Ha

(k - 1)

-re

a_{k - 1} (n) < \sqrt[]{n} + 1

, akkor

\begin{matrix} a_{k} (n) = \sqrt[]{n + a_{k - 1} (n)} < \sqrt[]{n + \sqrt[]{n} + 1.} \end{matrix}

\sqrt[]{n + \sqrt[]{n} + 1} < \sqrt[]{n} + 1

, amiről négyzetre emeléssel meggyőződhetünk (

n + \sqrt[]{n} + 1 < n + 2 \sqrt[]{n} + 1

, és mindkét oldal pozitív). Így

a_{k} (n) < \sqrt[]{n} + 1

, amivel az indukciós lépést igazoltuk. Beláttuk tehát, hogy

a_{n} = a_{n} (n) < \sqrt[]{n} + 1

, s innen

\begin{matrix} \frac{a_{n}}{\sqrt[]{n}} < 1 + \frac{1}{\sqrt[]{n}} . \end{matrix}

Ezt (1)-gyel összevetve

1 ≦ \frac{a_{n}}{\sqrt[]{n}} < 1 + \frac{1}{\sqrt[]{n}}

. Minthogy

{lim}_{n \to \infty}^{} (1 + \frac{1}{\sqrt[]{n}}) = 1

, a rendőrszabály szerint

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n}}{\sqrt[]{n}} = 1

. Ezzel beláttuk, hogy

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n}}{\sqrt[]{n}}

létezik, s értékét is megadtuk.