Kezdőlap


Feladat:	F.2627	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr András [1984-1988] , Binder Zsuzsanna , Bukszár J. , Csáki Cs. , Cynolter G. , Gács A. , Hahn Zsuzsa , Hajnal Z. , Jalsovszky P. , Károlyi Gy. , Keleti T. , László Á. , Lipták L. , Madas P. , Majoros L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Pál G. , Rimányi R. , Szabó 484 P. , Szabó 639 A. , Szederkényi Judit , Szegedi Nóra , Szepesi Zsuzsanna , Talata István [1984-1988] , Tasnádi T. , Varga G. , Wiandt T. , Örsi A.
Füzet:	1987/november, 367 - 368. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: F.2627

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adjunk hozzá az első két kifejezéshez $x^{2}$ -et, ekkor ‐ a szorzattá alakítás után ‐ az

\begin{matrix} (x + y) (x + z) = a^{2} \end{matrix}

(1)

egyenlethez jutunk. Hasonlóan az első és harmadikhoz

y^{2}

-et, az első és negyedikhez pedig

z^{2}

-et adva az

\begin{matrix} (y + z) (y + x) = b^{2}, & (2) \\ (x + z) (y + z) = c^{2} & (3) \end{matrix}

egyenleteket kapjuk.
1.eset:

a b c \neq 0

. Ekkor (1) és (2) szorzatát (3)-mal elosztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}}, \end{matrix}

és hasonlóan adódnak az

\begin{matrix} {(x + z)}^{2} = \frac{a^{2} c^{2}}{b^{2}}, {(y + z)}^{2} = \frac{b^{2} c^{2}}{a^{2}} \end{matrix}

egyenletek. (1), (2)-ből látszik, hogy

x + y

x + z

és

y + z

előjele azonos. Az ismeretlenek összegének előjele szerint tehát két lehetőség van:

\begin{matrix} x + y = | \frac{a b}{c} |, x + z = | \frac{a c}{b} |, y + z = | \frac{b c}{a} |, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x + y = - | \frac{a b}{c} |, x + z = - | \frac{a c}{b} |, y + z = - | \frac{b c}{a} | . \end{matrix}

Ezek megoldása

\begin{matrix} x_{1} = \frac{| \frac{a b}{c} | + | \frac{a c}{b} | - | \frac{b c}{a} |}{2}, y_{1} = \frac{| \frac{a b}{c} | - | \frac{a c}{b} | + | \frac{b c}{a} |}{2}, \\ z_{1} = \frac{- | \frac{a b}{c} | + | \frac{a c}{b} | + | \frac{b c}{a} |}{2}, \end{matrix}

illetve

x_{2} = - x_{1}

y_{2} = - y_{1}

z_{2} = - z_{1}

.
Lépéseink megfordíthatók, így az

a b c \neq 0

esetben ezek és csak ezek az egyenletrendszer megoldásai.

2.eset:

a = b = c = 0

. Ekkor

x + y

x + z

y + z

közül legalább kettő nulla, különben (1), (2), (3) egyszerre nem teljesülhetne. Ha pl.

x + y = 0 = x + z

, akkor innen

y = z = - x

következik, s az ilyen számhármasok mind kielégítik az eredeti egyenletrendszert is.
Hasonlóan kapjuk a másik két esetben az

x = y = - z

és

x = z = - y

megoldásokat.

3.eset:

a \neq 0

b = 0

. Ekkor (2) miatt

y + z = 0

vagy

y + x = 0

. Utóbbi azonban nem lehet, mert abból

a = 0

következne, tehát

y + z = 0

. Ekkor viszont

c = 0

és

y = - z

. Most (1)-ből

a^{2} = x^{2} - y^{2}

, azaz

x = \pm \sqrt[]{a^{2} + y^{2}}

. Így az

\begin{matrix} x = \pm \sqrt[]{a^{2} + y^{2}}, y tetszőleges, z = - y \end{matrix}

megoldáshármasokat kapjuk, s ezek az eredeti egyenletrendszernek is megoldásai.
Hasonlóan kapjuk

a = b = 0

c \neq 0

esetén az

x

tetszőleges,

y = - x

z = \pm \sqrt[]{c^{2} + x^{2}}

és az

a = c = 0

b \neq 0

esetén az

x

tetszőleges,

y = \pm \sqrt[]{b^{2} + x^{2}}

z = - x

megoldáshármasokat.
Nyilvánvaló, hogy a 3. eset megoldásai tartalmazzák a 2. eset megoldásait, így a feladat megoldásai röviden a következők:
Ha

a b c \neq 0

, akkor

x = x_{1}

y = y_{1}

z = z_{1}

vagy

x = - x_{1}

y = - y_{1}

z = - z_{1}

.
Ha

a

b

c

közül pontosan egy nulla, akkor nincs megoldás.
Ha

a = b = 0

, akkor

x

tetszőleges,

y = - x

és

z = \pm \sqrt[]{c^{2} + y^{2}}

.
Ha

a = c = 0

, akkor

z

tetszőleges,

x = - z

és

y = \pm \sqrt[]{b^{2} + x^{2}}

.
Ha

b = c = 0

, akkor

y

tetszőleges,

z = - y

és

x = \pm \sqrt[]{a^{2} + z^{2}}