|
Feladat: |
F.2627 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr András [1984-1988] , Binder Zsuzsanna , Bukszár J. , Csáki Cs. , Cynolter G. , Gács A. , Hahn Zsuzsa , Hajnal Z. , Jalsovszky P. , Károlyi Gy. , Keleti T. , László Á. , Lipták L. , Madas P. , Majoros L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Pál G. , Rimányi R. , Szabó 484 P. , Szabó 639 A. , Szederkényi Judit , Szegedi Nóra , Szepesi Zsuzsanna , Talata István [1984-1988] , Tasnádi T. , Varga G. , Wiandt T. , Örsi A. |
Füzet: |
1987/november,
367 - 368. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/március: F.2627 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Adjunk hozzá az első két kifejezéshez -et, ekkor ‐ a szorzattá alakítás után ‐ az egyenlethez jutunk. Hasonlóan az első és harmadikhoz -et, az első és negyedikhez pedig -et adva az
egyenleteket kapjuk. 1.eset: . Ekkor (1) és (2) szorzatát (3)-mal elosztva kapjuk, hogy és hasonlóan adódnak az | | egyenletek. (1), (2)-ből látszik, hogy , és előjele azonos. Az ismeretlenek összegének előjele szerint tehát két lehetőség van: | | vagy | | Ezek megoldása
illetve , , . Lépéseink megfordíthatók, így az esetben ezek és csak ezek az egyenletrendszer megoldásai. 2.eset: . Ekkor , , közül legalább kettő nulla, különben (1), (2), (3) egyszerre nem teljesülhetne. Ha pl. , akkor innen következik, s az ilyen számhármasok mind kielégítik az eredeti egyenletrendszert is. Hasonlóan kapjuk a másik két esetben az és megoldásokat. 3.eset: , . Ekkor (2) miatt vagy . Utóbbi azonban nem lehet, mert abból következne, tehát . Ekkor viszont és . Most (1)-ből , azaz . Így az | | megoldáshármasokat kapjuk, s ezek az eredeti egyenletrendszernek is megoldásai. Hasonlóan kapjuk , esetén az tetszőleges, , és az , esetén az tetszőleges, , megoldáshármasokat. Nyilvánvaló, hogy a 3. eset megoldásai tartalmazzák a 2. eset megoldásait, így a feladat megoldásai röviden a következők: Ha , akkor , , vagy , , . Ha , , közül pontosan egy nulla, akkor nincs megoldás. Ha , akkor tetszőleges, és . Ha , akkor tetszőleges, és . Ha , akkor tetszőleges, és .
|
|