Feladat: F.2626 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bánkövi Johanna ,  Benczúr A. ,  Botrágyi T. ,  Gács A. ,  Keleti T. ,  Kiss 969 Cs. ,  Madas P. 
Füzet: 1987/november, 367. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Skatulyaelv, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/március: F.2626

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az adott számok ezerrel való osztásakor fellépő legkisebb abszolút értékű maradékot, azaz írjuk fel a számokat 1000 q+r alakban, ahol q nem negatív egész, az r pedig olyan egész szám, amelyre -499≦r≦500. Ez a felírás nyilván létezik és egyértelmű.
Miután a maradékok abszolút értéke 501-féle lehet, az 502 szám között biztosan van kettő, amelyekre a fenti maradékok abszolút értéke egyenlő. Ha most maguk a maradékok is egyenlők, akkor e két szám különbsége, ha pedig ellentettek, akkor a két szám összege osztható ezerrel.

 

Megjegyzés. Hasonlóan mutatható meg, hogy ha k≧1, akkor k+2 természetes szám között mindig található kettő, amelyek különbsége vagy összege osztható 2k-val. Amint azt az {1,2,...,k,2k} példa mutatja, (k+2)-nél kevesebb számra az állítás nem igaz.