Elegendő megkeresnünk azokat a természetes számokat, amelyeknek van olyan többszöröse, amelynek minden jegye $1$. Ekkor és csak ekkor lesz ugyanis bármilyen $a$ számjegy esetén is olyan többes, amelynek minden jegye $a$.
A páros, illetve az $5$-tel osztható számoknak nyilván nincs csupa egyesből álló többszöröse, hiszen a páros számok utolsó jegye páros, az $5$-tel oszthatók többszörösei pedig $0$-ra vagy $5$-re végződnek. Állítjuk, hogy e két esettel minden kivételt megtaláltunk, azaz ha egy $N$ természetes szám relatív prím a $10$-hez, akkor van olyan többszöröse, amelynek minden jegye $1$-es.
Ha $U_m$ jelöli az $m$ jegyű, csupa $1$-esből álló számot, akkor tekintsük az $U_1\mathrm{,}{U}_2\mathrm{,}\text{...}$ számoknak az $N$-nel való osztáskor fellépő maradékait. Mivel a lehetséges maradékok száma $N$, van olyan $U_m$ és $U_n$ $\left(m<n\right)$, amelyek ugyanazt a maradékot adják $N$-nel osztva. Ez azt jelenti, hogy $N|U_n-U_m=U_{n-m}\cdot {10}^m$. Mivel pedig $\left(N\mathrm{,}10\right)=1$, ezért a talált oszthatóságban a ${10}^m$ tényező ,,leválasztható'', $N|U_{n-m}$, tehát az $n-m$ darab $1$-esből álló szám az $N$-nek többszöröse. Ezzel a megoldást befejeztük.