|
Feladat: |
F.2612 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baboss Cs. , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Biró J. , Cynolter G. , Dienes J. , Eckert B. , Gyuris V. , Hajdú G. , Hajnal Z. , Kántor A. , Kecskés K. , Keleti T. , Kincses Z. , Kiss 303 B. , Kiss 969 Cs. , Klug R. , Lipták 182 L. , Lozsi I. , Majoros L. , Pál G. , Pfening A. , Pongor G. , Rimányi R. , Sass B. , Szabó 182 T. , Szabó 484 P. , Szalay Gy. , Talata I. , Tasnády P. , Veres E. , Wiandt T. , Zaránd G. |
Füzet: |
1987/szeptember,
258 - 259. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Paralelepipedon, Súlyvonal, Köréírt alakzatok, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/december: F.2612 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az hosszúságú él végpontjait -val és -vel, a másikéit és -vel, a felezőpontok legyenek és . Használjuk az ábra egyéb jelöléseit is.
Szerkesszük meg a tetraéder köré írt paralelepipedont, vagyis azt a testet, amelyet a tetraéder kitérő élpárjaira illesztett párhuzamos síkok határolnak. E paralelepipedon egyik lapjának átlója az szakasz, és ennek a lapnak a másik átlója hosszúságú. Ezért a lap területe . Jelöljük a tetraéder térfogatát -vel. Ismeretes, hogy a körülírt paralelepipedon térfogata háromszor akkora, mint a tetraéderé. Nyilvánvaló továbbá, hogy a paralelepipedon említett lapjához tartozó magassága ‐ jelöljük ezt -mel ‐, legfeljebb akkora lehet mint , azaz . Egyenlőség itt csak akkor állhat, ha merőleges a paralelepipedon -t, illetve -t tartalmazó lapjaira, és akkor -re és -re is merőleges. Ezek után a paralelepipedon térfogatát a következőképpen becsüljük: | | hiszen , ahonnan kapjuk, hogy . Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha és , ezek együtt pontosan akkor teljesülnek, ha és mind egymásra, mind -ra merőlegesek. Könnyű látni, hogy ilyen tetraéder létezik. A felszín becsléséhez vegyük figyelembe, hogy a tetraédert két, az élre, és két, a élre illeszkedő háromszög határolja. Mivel egy háromszögben egy adott oldalhoz tartozó magasság hossza nem nagyobb, mint az ugyanahhoz az oldalhoz tartozó súlyvonal, a háromszög területe a szokásos jelölésekkel legfeljebb Jelöljük a tetraéder felszínét -val. Az előbbiek szerint ekkor ahol mindegyike egy tetraéderlap megfelelő súlyvonalszakasza. Írjuk fel a , illetve háromszögekre a koszinusztételt: | | ahol a -et jelenti. A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint ezért (1) felhasználásával és hasonlóan Ezek alapján Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az szakaszok egyben magasságok is a megfelelő háromszögekben, továbbá, ha és . Ez azt jelenti, hogy és mind egymásra, mind -ra merőlegesek, vagyis a tetraéder felszíne és térfogata egyszerre maximális. |
|