Feladat: F.2612 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baboss Cs. ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Biró J. ,  Cynolter G. ,  Dienes J. ,  Eckert B. ,  Gyuris V. ,  Hajdú G. ,  Hajnal Z. ,  Kántor A. ,  Kecskés K. ,  Keleti T. ,  Kincses Z. ,  Kiss 303 B. ,  Kiss 969 Cs. ,  Klug R. ,  Lipták 182 L. ,  Lozsi I. ,  Majoros L. ,  Pál G. ,  Pfening A. ,  Pongor G. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Szabó 182 T. ,  Szabó 484 P. ,  Szalay Gy. ,  Talata I. ,  Tasnády P. ,  Veres E. ,  Wiandt T. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/szeptember, 258 - 259. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Paralelepipedon, Súlyvonal, Köréírt alakzatok, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/december: F.2612

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az a hosszúságú él végpontjait A-val és B-vel, a másikéit C és D-vel, a felezőpontok legyenek P és Q. Használjuk az ábra egyéb jelöléseit is.

 
 

Szerkesszük meg a tetraéder köré írt paralelepipedont, vagyis azt a testet, amelyet a tetraéder kitérő élpárjaira illesztett párhuzamos síkok határolnak. E paralelepipedon egyik lapjának átlója az AB=a szakasz, és ennek a lapnak a másik átlója b hosszúságú. Ezért a lap területe 12absinφ. Jelöljük a tetraéder térfogatát V-vel.
Ismeretes, hogy a körülírt paralelepipedon térfogata háromszor akkora, mint a tetraéderé. Nyilvánvaló továbbá, hogy a paralelepipedon említett lapjához tartozó magassága ‐ jelöljük ezt m-mel ‐, legfeljebb akkora lehet mint k, azaz mk. Egyenlőség itt csak akkor állhat, ha PQ merőleges a paralelepipedon AB-t, illetve CD-t tartalmazó lapjaira, és akkor PQ AB-re és CD-re is merőleges. Ezek után a paralelepipedon térfogatát a következőképpen becsüljük:
3V=12ab(sinφ)m12abk,
hiszen sinφ1, ahonnan kapjuk, hogy Vabk6. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha sinφ=1 és m=k, ezek együtt pontosan akkor teljesülnek, ha AB és CD mind egymásra, mind PQ-ra merőlegesek. Könnyű látni, hogy ilyen tetraéder létezik.
A felszín becsléséhez vegyük figyelembe, hogy a tetraédert két, az AB=a élre, és két, a CD=b élre illeszkedő háromszög határolja. Mivel egy háromszögben egy adott oldalhoz tartozó magasság hossza nem nagyobb, mint az ugyanahhoz az oldalhoz tartozó súlyvonal, a háromszög területe a szokásos jelölésekkel legfeljebb 12asa.
Jelöljük a tetraéder felszínét A-val. Az előbbiek szerint ekkor
Aa(x+y)2+b(r+s)2,
ahol x,y,r,s mindegyike egy tetraéderlap megfelelő súlyvonalszakasza. Írjuk fel a PQD, illetve PQC háromszögekre a koszinusztételt:
x2=k2+b24-kbcosα,y2=k2+b24+kbcosα,
ahol α a DQP-et jelenti. A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy
x2+y2=2(k2+b24).(1)
A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint
x+y2x2+y22,
ezért (1) felhasználásával
x+y2k2+b24,
és hasonlóan
r+s2k2+a24.
Ezek alapján
Aak2+b24+bk2+a24.
Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az x,y,r,s szakaszok egyben magasságok is a megfelelő háromszögekben, továbbá, ha x=y és r=s. Ez azt jelenti, hogy AB és CD mind egymásra, mind PQ-ra merőlegesek, vagyis a tetraéder felszíne és térfogata egyszerre maximális.