Feladat: F.2611 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Angeli Edit ,  Balogh Ágnes ,  Beke Tibor ,  Benczúr András ,  Bereczky Áron ,  Cynolter Gábor ,  Dienes János ,  Drasny Gábor ,  Eckert Bálint ,  Fülöp Gábor ,  Gács András ,  Grallert Krisztina ,  Grallert Marianna ,  Gyuris Viktor ,  Hajdú Gábor ,  Hajnal Zoltán ,  Jalsovszky Pál ,  Kádas Krisztina ,  Kántor András ,  Keleti Tamás ,  Kincses Zoltán ,  Klug Róbert ,  Ledeczky Gábor ,  Lipták László ,  Madarász Péter ,  Madas Pál ,  Majoros László ,  Máté Nóra ,  Mátrai Katalin ,  Morva Pál ,  Németh Endre ,  Paál Balázs ,  Pál Gábor ,  Rimányi Richárd ,  Semsey Barna ,  Szabó 484 Péter ,  Szabó 522 Beáta ,  Szabó 668 Tamás ,  Szabó Gábor ,  Szalay György ,  Szederkényi Judit ,  Szegedi Nóra ,  Takács Attila ,  Tasnádi Tamás ,  Tavaszi Gábor ,  Tornyi Lajos ,  Varga 214 Gábor ,  Vargay Péter ,  Veres Endre ,  Wiandt Tamás ,  Zaránd Gergely 
Füzet: 1987/szeptember, 256 - 258. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Poliéderek egybevágósága, Téglatest, Kombinatorikus geometria térben, Tér parkettázás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/december: F.2611

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a láda élei a,b, és c. Ahhoz, hogy a láda ,,párhuzamosan'' elhelyezett téglákkal is megtölthető legyen, szükséges, hogy az élek egyike 4-gyel, egy másik él pedig 2-vel legyen osztható. Bebizonyítjuk, hogy ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a láda egyáltalán nem tölthető ki olyan egybevágó téglákkal, amelyek éleinek aránya 1:2:4.
Válasszuk egységnek a téglák legrövidebb élét. Ekkor egy tégla köbtartalma 8 térfogategység, ezért csak olyan láda tölthető meg a téglákkal, amelynek abc térfogata osztható 8-cal. Ha most a,b,c-re nem teljesül a fenti feltétel, akkor a következő két eset lehetséges:

 

1. egy él osztható 8-cal, a többi pedig páratlan;
2. mindhárom él mérőszáma páros, de egyikük sem osztható 4-gyel.
 


Megmutatjuk, hogy ebben a két esetben a láda nem tölthető meg téglákkal.
Az 1. esetben legyen a 8-cal osztható él a. Ekkor az a-ra merőleges ládalap területe, b⋅c páratlan. Mivel egy tégla lapjai 2,4 illetve 8, tehát páros egység területűek, a b⋅c területű ládalap nem rakható ki ilyenekkel, így ebben az esetben a láda sem tölthető meg a téglákkal.
A 2. esetben a2,b2,c2 egyaránt páratlan. Osszuk fel a ládát a lapjaival párhuzamos síkokkal 2 egység élű kockára. A kockák száma a2⋅b2⋅c2, tehát páratlan.
Színezzük ki a kockákat sakktáblaszerűen, vagyis úgy, hogy két közös lapú kocka egyike világos, a másika pedig sötét legyen.
Azt állítjuk, hogy a kitöltésben részt vevő bármely téglának ugyanakkora térfogatú része helyezkedik el világos kockákban, mint sötétekben. Ha ugyanis a szóban forgó téglát kettévágjuk a leghosszabb éleit felező síkkal, és az egyik féltéglát a másik helyére toljuk, akkor mindenütt ellentétes színű részek kerülnek egymás helyére, hiszen az élekkel párhuzamos 2 egység hosszúságú eltolás minden kockát szomszédos, tehát más színű kockába visz. Ha tehát a láda megtölthető téglákkal, akkor a világos és sötét színű kockák száma egyenlő, számuk tehát összesen páros.
A 2. esetben ez nem teljesül, így ekkor sem létezhet a láda kitöltése. A bizonyítást ezzel befejeztük.
 

II. megoldás. Tekintsünk egy olyan a,b,c élű ládát, amely megtölthető az adott típusú téglákkal. Válasszuk hosszegységnek a legrövidebb téglaélt. Azt kell bebizonyítanunk, hogy az a,b,c mérőszámok között van egy 4-gyel osztható, és egy másik, ami páros. Az a⋅b,a⋅c,b⋅c szorzatok mind párosak, mert mindegyikük egy-egy ládalap területe, és a láda megtöltésekor minden ládalapot 2,4, illetve 8, tehát páros területű téglalapok borítanak be. Az a,b,c számok közül így legalább kettő páros. Ha van közöttük páratlan, akkor a két páros egyike 4-gyel is osztható lesz, hiszen a⋅b⋅c osztható 8-cal. Ebben az esetben tehát a láda valóban megtölthető ,,párhuzamosan'' elhelyezett téglákkal.
Az az eset maradt még hátra, amikor a,b és c mindegyike páros. Elegendő lenne azt megmutatnunk, hogy ekkor szorzatuk osztható 16-tal is, hiszen így egyikük biztosan osztható 4-gyel.
Vágjuk fel a ládát egységkockákra. Minden ilyen kockához rendeljünk három ,,koordinátát'', amelyek megmutatják, hogy három, egy csúcsban találkozó ládalappal párhuzamos rétegek közül e ládalapoktól számítva hányadikban van az adott kocka. Számoljuk ki a ládát alkotó kockák ,,koordinátáinak'' az összegét.
Az a,b élek meghatározta ládalappal párhuzamos minden egyes rétegben a⋅b darab kocka van, ezért az a,b élek síkjától számított koordináták összege
a⋅b+2a⋅b+...+c⋅a⋅b=a⋅b(1+2+...+c)=a⋅bc(c+1)2.
A többi koordinátát hasonlóan összegezve kapjuk, hogy a kockák koordinátáinak összege:
a⋅bc(c+1)2+a⋅cb(b+1)2+b⋅ca(a+1)2=12⋅abc(a+b+c+3).

Tekintsük most a megtöltött láda egy tégláját. Ez nyolc kockából áll, amelyek közül az egyik sarokkocka koordinátái a legkisebbek. Ha ezeknek a koordinátáknak az összege k, akkor a téglát alkotó nyolc kocka koordinátáinak összege 8k+16, ugyanis a nyolc kocka koordinátaösszege rendre 0,1,2,3,1,2,3,4 értékkel haladja meg a k összeget. Egy-egy téglában tehát a kockák teljes koordinátaösszege osztható 8-cal, ezért ugyanez a ládát kitöltő kockák teljes koordinátaösszegére is fennáll, ami a fentebb fölírt kifejezés. Minthogy a,b,c most páros számok, a+b+c+3 pedig páratlan, ezért abc valóban osztható 16-tal, és így most is van az élek között 4-gyel osztható.