Feladat: F.2608 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1987/szeptember, 256. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Számsorozatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/december: F.2608

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n-re vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy

10n|xn+1-xn,(1)
ez nyilván ekvivalens a bizonyítandó állítással.
Ha n=1, akkor x2=25, és így (1) azt jelenti, hogy 10|25-5, ami nyilván igaz. Tegyük most fel, hogy az állítás igaz n-re; meg kell mutatnunk, hogy ekkor (n+1)-re is teljesül, azaz
10n+1|xn+2-xn+1.

A sorozat definíciója szerint
xn+2-xn+1=xn+12-xn2=(xn+1-xn)(xn+1+xn).
Az első tényező az indukciós feltevés szerint osztható 10n-nel, a második tényezőben pedig az összeg mindkét tagja a sorozat eleme, és így az 5 hatványa; az 5 hatványai pedig 5-re végződnek, ezért összegük osztható 10-zel. Az xn+2-xn+1 szorzat-alakjában tehát az első tényező osztható 10n-nel, a második pedig 10-zel, így a különbség osztható 10n+1-nel is. Beláttuk tehát, hogy az (1) tulajdonság öröklődik n-ről (n+1)-re; a bizonyítást befejeztük.
 

Megjegyzés. Mivel x4-x3=390625-625=390000, ezért 104|x4-x3. Ez azt jelenti, hogy, ha n≥3, akkor xn+1 és xn utolsó (n+1) darab jegye is megegyezik.