Kezdőlap


Feladat:	F.2606	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Tibor , Hajnal Zoltán , Keleti Tamás
Füzet:	1987/szeptember, 255 - 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: F.2606

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A B C$ háromszög területe $T$ , kerületének fele $s$ , a beírt kör $A', B', C'$ érintési pontjai által meghatározott háromszög területe pedig $t$ . A további jelöléseket az ábrán láthatjuk.

Ismeretes, hogy

A C' = s - a

, és így az ábra alapján

t_{1} = \frac{1}{2} {(s - a)}^{2} sin α

;

T = \frac{1}{2} b c sin α

, ahonnan

t_{1} =

= T \cdot \frac{{(s - a)}^{2}}{b c}

. Hasonló összefüggéseket kapunk

t_{2}

-re és

t_{3}

-ra.
A keresett terület ezután

t = T - t_{1} - t_{2} - t_{3}

, ami az előbbieket fölhasználva:

\begin{matrix} t = T - T \cdot \frac{{(s - a)}^{2}}{b c} - T \cdot \frac{{(s - b)}^{2}}{a c} - T \cdot \frac{{(s - c)}^{2}}{a b} . \end{matrix}

Ha most

T

-t kifejezzük a Hérón-képlettel, akkor kiemelés után a feladat követelményeinek megfelelő

\begin{matrix} t = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} (1 - \frac{{(s - a)}^{2}}{b c} - \frac{{(s - b)}^{2}}{a c} - \frac{{(s - c)}^{2}}{a b}) \end{matrix}

összefüggéshez jutunk.

II. megoldás. Az

A C' O B'

húrnégyszögben

B' O C' ∢ = 180^{\circ} - α

, és így

T_{1} = \frac{1}{2} r^{2} sin α

T_{2}

és

T_{3}

hasonló kifejezésével (

r

a beírt kör sugara):

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} r^{2} (sin α + sin β + sin γ) . \end{matrix}

(1)

Mivel pl.

T = \frac{1}{2} b c sin α

, következik, hogy

sin α = \frac{2 T}{b c}

, és hasonló igaz

sin β

és

sin γ

-ra. Ezért (1) így írható:

\begin{matrix} t = \frac{r^{2}}{2} (\frac{2 T}{b c} + \frac{2 T}{a c} + \frac{2 T}{a b}) . \end{matrix}

Emeljük ki

T

-t és használjuk fel a

T = r s

összefüggést. Ekkor

t = \frac{T^{3}}{s^{2}} \cdot \frac{a + b + c}{a b c}

, amiben

T

-t ismét a Hérón-képlet alapján helyettesítve:

\begin{matrix} t = \frac{2 \cdot \sqrt[]{s \cdot {(s - a)}^{3} {(s - b)}^{3} {(s - c)}^{3}}}{a b c} . \end{matrix}