|
Feladat: |
F.2605 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bagyinszki P. , Bánkövi Johanna , Benczúr A. , Gács A. , Heckenberger I. , Máté Nóra , Sass B. , Szabó Péter [1984-1988] , Szepesi Zsuzsanna , Talata István |
Füzet: |
1987/május,
201 - 203. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/november: F.2605 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először azt bizonyítjuk, hogy ha a -nél derékszög van, akkor teljesül az egyenlőség. Írjuk fel kétféleképpen a háromszög kétszeres területét: Itt négyzetre emelve, majd -et kifejezve s végül a Pitagorasz-tételt felhasználva valóban a kívánt egyenlőséget kapjuk. | |
1. ábra A feladat állítása azonban csak akkor lenne igaz, ha megfordítva, az (1) egyenlőségből következne, hogy a háromszögben -nél derékszög van. Erre azonban könnyű ellenpéldát találni: legyen az háromszögben -nél derékszög, és legyen Ekkor az előbb bizonyítottak szerint Ha az oldalt tükrözzük az magasság egyenesére, akkor az szakaszt kapjuk. Az így kapott háromszögben és az szakaszon van, tehát a -ből induló magasság változatlan, továbbra is hosszúságú. Az (1) egyenlőség tehát továbbra is fennáll, másrészt most -nél tompaszög van, a -nél tehát hegyesszög, a feladat állítása így nem igaz. II. megoldás. Legyenek az , , oldalakkal szemközti szögek rendre , , Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy Ekkor nyilván Az (1) egyenlőség mindkét oldalát -vel végigszorozva az egyenlőséghez jutunk. Minden háromszögben igaz, hogy és tehát az egyenlőség így is írható : | |
Ha most mindkét oldalt megszorozzuk -val, akkor az egyenlőséghez jutunk, ahonnan a azonosság felhasználásával a egyenlőséget kapjuk. Minthogy és pozitív, tehát azt kapjuk, hogy De így Ebből pedig az következik, hogy vagy vagy azaz vagy vagy Könnyű látni, hogy a feltételek mellett átalakításaink ekvivalensek voltak, tehát az (1) egyenlőség két esetben teljesül: ha tehát a -nél derékszög van, vagy ha (Ekkor tompaszög, tehát hegyesszög.) A feladat állítása tehát nem igaz, az egyenlőség teljesül pl. az -os háromszögre is. III. megoldás. A feladatot egy szerkesztési feladatra vezetjük vissza. Adva van egy háromszög két oldala, és továbbá tudjuk, hogy a -ből induló magasságra teljesül az (1) összefüggés. Szerkesszük meg a háromszöget! (1) alapján szerkeszthető. Ekkor ismerjük az háromszög -ből induló két oldalát, -t és -t, valamint a -ből induló magasságát, -et. Ekkor az ismert módon szerkeszthető a háromszög: mint átfogó fölé szerkesztünk egy derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója Legyen ez a háromszög és legyen A egyenest a körüli sugarú körrel elmetszve két pontot kapunk, -t és -t. Ezek a metszéspontok valóban létrejönnek, hiszen miatt nyilván teljesül.
2. ábra Ha akkor a metszéspontok egyike a -vel esik egybe, minden más esetben két háromszöget kapunk: -t és -t, és mindkettő megfelel. Világos az is, hogy a két háromszög közül csak az egyikben lehet a -nél derékszög, hiszen Ezért a feladat állítása nem igaz: (1)-ből nem következik, hogy -nél derékszög van.
Megjegyzések: 1. A harmadik megoldást az elsővel összevetve trigonometria alkalmazása nélkűl is könnyen láthatjuk, hogy (1) két esetben teljesül: ha vagy ha 2. Azokat a megoldásokat tekintettük kiemelkedőnek, amelyek a szögekre vonatkozó szükséges és elégséges feltételt adtak arra, hogy (1) teljesüljön, s ennek alapján mutatták meg, hogy a feladat állítása nem igaz. Voltak sajnos olyanok is, akik a trigonometrikus egyenletek megoldásánál nem ekvivalens átalakításokat hajtottak végre, ezeket akkor sem vettük kiemelkedőnek, ha végül véletlenül helyes eredményre jutottak.
|
|