Kezdőlap


Feladat:	F.2603	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/szeptember, 252 - 253. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökös függvények, Inverz függvények, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: F.2603

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Megfelelő értelmezési tartományon $(x \geq - 4)$ az egyenlet két oldalán álló függvények egymás inverzei.

1. ábra

Várhatjuk tehát, hogy az

y = x

egyenesen lesz a két görbének közös pontja (1. ábra), amelynek abszcisszájára

x^{2} - 4 = x

, azaz

\begin{matrix} x^{2} - x - 4 = 0. \end{matrix}

(2)

Az eredeti egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve rendezés után a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{4} - 8 x^{2} - x + 12 = 0. \end{matrix}

(3)

Könnyen ellenőrizhető, hogy várakozásunknak megfelelően a (2) bal oldalán álló polinom osztója (3) bal oldalának, ezért az szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (x^{2} - x - 4) (x^{2} + x - 3) = 0. \end{matrix}

Egyenletünk gyökei tehát az

x^{2} - x - 4 = 0

és az

x^{2} + x - 3 = 0

egyenletek gyökei közül kerülnek ki:

\begin{matrix} x = \frac{1 \pm \sqrt[]{17}}{2} vagy x = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{13}}{2} . \end{matrix}

A négyzetre emelés miatt hamis gyökök is felléptek, a

2

-nél kisebb abszolút értékű gyököket ki kell zárnunk, hisz ekkor

x^{2} - 4

negatív. Az

x \geq - 4, | x | \geq 2

halmazon viszont (1) és (3) ekvivalens, így a megmaradt két gyök,

x_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{17}}{2}

és

x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt[]{13}}{2}

az egyenlet megoldása.

II. megoldás. Az

x \geq - 4

halmazon keressük az

y = x^{2} - 4

és

y = \sqrt[]{x + 4}

egyenletű görbék közös pontjainak abszcisszáját. A második egyenlet négyzetre emelése után kapott

y^{2} = x + 4

alakot vonjuk ki az első egyenletből:

x^{2} - y^{2} = - (x - y)

, amiből

(x - y) (x + y + 1) = 0

adódik. A szorzat alakból pl.

y

kifejezhető,

y = x

vagy

y = - x - 1

. Ezeket az első egyenletbe helyettesítve ismét két másodfokú egyenlet megoldása a folytatás.

III. megoldás. Írjuk az adott egyenletet így:

\begin{matrix} x^{2} - 4 + x + 4 + \frac{1}{4} = x + 4 + \sqrt[]{x + 4} + \frac{1}{4} . \end{matrix}

Látható, hogy mindkét oldal teljes négyzet:

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{2})}^{2} = {(\sqrt[]{x + 4} + \frac{1}{2})}^{2}, \end{matrix}

amiből

\sqrt[]{x + 4} = x

vagy

\sqrt[]{x + 4} = - x - 1

, és a folytatás hasonló, mint a II. megoldásban (2. ábra).

2. ábra