Kezdőlap


Feladat:	F.2602	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/szeptember, 251 - 252. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: F.2602

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük mindkét egyenletet négyzetre és adjuk össze az így kapott két egyenletet! Ekkor a jobb oldal $sin^{2} y + cos^{2} y = 1$ , tehát a

\begin{matrix} sin^{4} x + cos^{8} x = 1 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. A jobb oldalon itt

sin^{2} x + cos^{2} x

is írható, s ekkor

x

-re a

\begin{matrix} sin^{4} x + cos^{8} x = sin^{2} x + cos^{2} x \end{matrix}

(1)

egyenletet kapjuk. Ha

x \neq \frac{k π}{2}

valamely

k

egészre, akkor

0 < | sin x | < 1

és

0 < | cos x | < 1

, tehát

sin^{4} x < sin^{2} x

és

cos^{8} x < cos^{2} x

, azaz (1) bal oldala határozottan kisebb a jobb oldalánál. Ezért (1)-nek, s így az eredeti egyenletrendszernek is csak

x = \frac{k π}{2}

alakú megoldása lehet, ahol

k

egész. Ezek után két esetet különböztetünk meg:

I. eset.

k = 2 l

, azaz

x = l π

, ahol

l

egész. Ekkor

sin^{2} x = 0, cos^{4} x = 1

, tehát

sin y = 0, cos y = 1

, azaz

y = 2 m π

valamely

m

egészre.

II. eset.

k = 2 l + 1

páratlan, azaz

x = l π + \frac{π}{2}

, ahol

l

egész. Ekkor

sin^{2} x = 1

cos^{4} x = 0

, tehát

sin y = 1, cos y = 0

, azaz

y = 2 m π + \frac{π}{2}

valamely

m

egészre.
A megoldások tehát:

\begin{matrix} \begin{matrix} x = l π, & y = 2 m π, ahol l \end{matrix} \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletrendszernek.