Feladat: F.2600 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zs. ,  Bortel G. ,  Cynolter G. ,  Drasny G. ,  Durcham M. ,  Egresits S. ,  Fajszi B. ,  Fodróczky Gács A. ,  Habony Zs. ,  Hajdú G. ,  Hajnal Z. ,  Hirschler A. ,  Hruby E. ,  Jinda B. ,  Károlyi 231 E. ,  Kecskés G. ,  Kecskés K. ,  Keleti T. ,  Kiss 303 B. ,  Kovács 111 Gy. ,  Majoros L. ,  Makó B. ,  Máté Nóra ,  Mátrai Katalin ,  Mikusi Cs. ,  Őrsi A. ,  Paál B. ,  Pál G. ,  Pfening A. ,  Pomázi G. ,  Pongor G. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Szalay Gy. ,  Szamosfalvi B. ,  Talata I. ,  Tasnádi T. ,  Tavaszi G. ,  Tóth 178 G. ,  Varga G. ,  Vasy A. ,  Wiandt T. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/március, 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/október: F.2600

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először bebizonyítjuk, hogy

sin(α2+β)>sinβ+sinγ2.(1)
Alakítsuk a jobb oldalt a következőképpen:
sinβ+sinγ2=sinβ+sin(α+β)2=sin(α2+β)cosα2,
ahol fölhasználtuk, hogy egy háromszögben sinγ=sin(α+β), majd szorzattá alakítottunk a sinx+siny=2sinx+y2cosx-y2 azonosság szerint. Ezután (1) így alakul: sin(α2+β)>sin(α2+β)cosα2, ami nyilvánvaló, hiszen sin(α2+β)>0 és cosα2<1.
Az (1) állítást sin(β2+γ) és sin(γ2+α)-ra is fölírva, majd a három egyenlőtlenséget összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.