Kezdőlap


Feladat:	F.2596	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/április, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/október: F.2596

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a sorozat $n$ -edik tagját $a_{n}$ -nel. A számtani sorozat tulajdonságaiból következik, hogy

\begin{matrix} a_{n} = a_{2} + (n - 2) d \end{matrix}

Az első feltétel szerint

a_{9} = a_{2}^{3}

, vagyis

\begin{matrix} a_{2}^{3} = a_{2} + 7 d . \end{matrix}

(1)

A második és harmadik feltétel szerint van olyan

n

és

m

pozitív egész, amelyre

a_{2}^{2} = a_{n}

és

a_{2}^{4} = a_{m}

, azaz

\begin{matrix} a_{2}^{2} & = a_{2} + (n - 2) d, \\ a_{2}^{4} & = a_{2} + (m - 2) d . \end{matrix}

Vezessük be az

n^{'} = n - 2

és

m'^{'} = m - 2

változókat. Ekkor

n^{'}, m^{'} ≧ - 1

egészek és

n^{'}

nem 0, hisz ekkor

a_{2} = a_{2}^{2} = a_{2}^{3}

, azaz

a_{9} = a_{2},

ami nem lehet.

\begin{matrix} a_{2}^{2} = a_{2} + n^{'} d, & (2) \\ a_{2}^{4} = a_{2} + m^{'} d . & (3) \end{matrix}

Az (1), (2), (3) egyenletek mindkét oldalából

a_{2}

-t levonva az

\begin{matrix} a_{2}^{3} - a_{2} & = a_{2} (a_{2} + 1) (a_{2} - 1) = 7 d, & (1') \\ a_{2}^{2} - a_{2} & = a_{2} (a_{2} - 1) = n^{'} d, & (2') \\ a_{2}^{4} - a_{2} & = a_{2} (a_{2} - 1) (a_{2}^{2} + a_{2} + 1) = m^{'} d & (3') \end{matrix}

egyenletekhez jutunk. A felső és alsó egyenletet a középsővel osztva

(n' \neq 0 és d \neq 0)

\begin{matrix} a_{2} + 1 = \frac{7}{n^{'}}, & (4) \\ a_{2}^{2} + a_{2} + 1 = \frac{m^{'}}{n^{'}} . & (5) \end{matrix}

Az (5) egyenlet bal oldala

{(a_{2} + 1)}^{2} - (a_{2} + 1) + 1

alakba írható, s ide (4)-et behelyettesítve az

\begin{matrix} \frac{m^{'}}{n^{'}} = {(\frac{7}{n^{'}})}^{2} - \frac{7}{n^{'}} + 1 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, ahonnan

n^{'}

-vel végigszorozva és rendezve azt kapjuk, hogy

\frac{49}{n^{'}} = m^{'} + 7 - n^{'}

egész szám, tehát

n^{'}

osztója 49-nek.

Másrészt

n^{'} ≧ - 1,

tehát

n^{'}

lehetséges értékei:

n^{'} = - 1, 1, 7, 49.

Itt

n^{'} = - 1

esetén

m^{'} < - 1

, ami lehetetlen.

n^{'} = 7

esetén

m^{'} = 7

s így

a_{2}^{4} = a_{2}^{2}

, azaz

a_{2} = 0, 1,

vagy -1 adódik. (1)-ből mindhárom esetben

d = 0

, tehát a sorozat tagjai nem különbözők. A feladat feltételének ez is ellentmond.
A következő két lehetőség maradt:

\begin{matrix} n^{'} = 1 & , m^{'} = 43; \\ n^{'} = 49 & , m^{'} = 43. \end{matrix}

4)-ből

a_{2}

és (2)-ből

d

kiszámítható:

a_{2} = \frac{7}{n^{'}} - 1;