Kezdőlap


Feladat:	F.2592	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor András , Lipták L. , Pinczés Szilárd
Füzet:	1987/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: F.2592

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az állítás minden egész $n$ -re igaz. Írjuk fel $(a^{4} + b^{4} + c^{4})$ -et az alábbi alakban:

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) = \\ = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 2 {{(a b + b c + c a)}^{2} - 2 a b c (a + b + c)} = \\ = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} + 4 a b c (a + b + c) - 2 {(a b + b c + c a)}^{2} = \\ = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} + 4 a b c (a + b + c) - 2 {(\frac{{(a + b + c)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2})}^{2} = \\ = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} + 4 a b c (a + b + c) - \frac{{(a + b + c)}^{4}}{2} - \\ - \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2} + {(a + b + c)}^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

Legyen tehát az

n

tetszőleges egész, s írjuk fel

n = 2^{k} m

alakban, ahol

k ≧ 0

egész,

m

pedig páratlan egész. Ez a felírás egyértelmű. A feltétel szerint

n

, s így

m

is osztója

{(a + b + c)}^{2}

-nek és

{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}

-nek. Minthogy

m

páratlan, ezért

m

osztója

\frac{{(a + b + c)}^{4}}{2} + \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2}

-nek is. Az

m

tehát osztója a jobb oldal minden tagjának, így az egész jobb oldalnak is, tehát

m | a^{4} + b^{4} + c^{4}

.
Be kell még látni, hogy

2^{k}

is osztója

a^{4} + b^{4} + c^{4}

-nek. Ha

k = 0

, akkor nincs mit bizonyítani. Ha

k ≧ 1

, akkor a feltevés szerint

n

, s így

2^{k}

is osztója

{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} + 4 a b c (a + b + c) + {(a + b + c)}^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

-nek.
Azt kell még igazolnunk, hogy

2^{k} | \frac{{(a + b + c)}^{4}}{2} + \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2}

. Mivel

{(a + b + c)}^{4}

osztható

2^{4 k}

-nal is, így

\frac{{(a + b + c)}^{4}}{2}

osztható

2^{4 k - 1}

-nel is, tehát

4 k - 1 > k

miatt

2^{k}

-nal is. Végül ugyanígy

{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}

osztható

2^{2^{k}}

-nal, a fele tehát

2^{2^{k} - 1}

-nel, s így

2 k - 1 ≧ k

miatt

2^{k}

-nal is. A jobb oldalon tehát minden tag osztható

2^{k}

-nal, így az összeg is osztható vele.
Azt kaptuk tehát, hogy

m

is,

2^{k}

is osztója

(a^{4} + b^{4} + c^{4})

-nek. De

(m, 2^{k}) = 1

, így

(a^{4} + b^{4} + c^{4})

osztható a szorzatukkal,

m \cdot 2^{k} = n

-nel is. Ezzel beláttuk hogy a feladat állítása minden egész

n

-re teljesül.

II. megoldás. Egy szerencsésebb átalakítással az állítást az

n

páros vagy páratlan voltától függetlenül is igazolhatjuk. Ugyanis

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a + b + c) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - \\ - (a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a + a b^{3} + b c^{3} + c a^{3}) = (a + b + c) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - \\ - [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a b + b c + c a) - (a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2})] = \\ = (a + b + c) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a b + b c + c a) + \\ + (a + b + c) a b c . \end{matrix}

Látható, hogy a kapott háromtagú összeg minden tagjában az első tényező a feltétel szerint

n

-el osztható, így az összeg is.

Megjegyzés. A bizonyításból következik, hogy

n | a + b + c

és

n | a^{2} + b^{2} + c^{2}

esetén

n | a^{2^{k}} + b^{2^{k}} + c^{2^{k}}

tetszőleges pozitív egész

k

-ra is.