|
Feladat: |
F.2587 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beke T. , Benczúr A. , Biró J. , Blahota I. , Bóna M. , Cynolter G. , Domokos M. , Dringó L. , Habony Zs. , Hajdú G. , Illés L. , Kintli L. , Máté Nóra , Mátrai Katalin , Olasz-Szabó M. , Pál G. , Pálmai L. , Ribényi Á. , Rimányi R. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Takács Á. , Vindics Péter , Zaránd G. |
Füzet: |
1986/november,
378 - 379. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szorzat, hatványozás azonosságai, Egyenlőtlenségek, Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Permutációk, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/május: F.2587 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bebizonyítjuk, hogy nem adhatók meg ilyen permutációk. Tekintsük az összegeket, ahol , , , ; , , , az első 50 pozitív egész szám permutációi. Mivel csak véges számú értéket vehet fel, ezek között van legnagyobb és legkisebb. Először is azt fogjuk belátni, hogy 1) a legnagyobb értéket akkor kapjuk, ha , vagyis ha "nagyobb -hez mindig nagyobb tartozik''; 2) a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha , vagyis ha "nagyobb -hez mindig kisebb tartozik''. Legyen ugyanis az az összeg, amely -től csak abban tér el, hogy és "helyet cserélt'' (). E két összeg különbsége: | | Ha és , vagy és , vagyis a csere során a nagyobbik mellé nagyobb került, akkor az összeg növekedett, ellenkező esetben pedig csökkent. Ilyen cserével az 1) pontban leírt összeg kivételével minden más összeg növelhető, a 2) pontban leírt összeg kivételével minden más összeg csökkenthető. Ebből következik, hogy az 1) pontban megadottól különböző összeg nem lehet maximális, és mivel maximális összeg létezik, ez éppen az 1)-beli. Hasonlóan adódik az állítás második része is. Számítsuk ki ezek után legnagyobb és legkisebb értékét. Az ismert | | összefüggések alapján
Mivel , a feladat kérdésére valóban nemleges a válasz, hiszen a kívánt egyenlőség bal oldalának legnagyobb értéke is kisebb a jobb oldal legkisebb értékénél. Megjegyzés. Az összegek minimumának és maximumának megállapításakor nagyon lényeges volt az a tény, hogy a szélsőértékek léteznek. Csupán abból, hogy egy adott számhalmaz elemeihez egyetlen egy elem kivételével megadható olyan elem, amelyre , még nem következik, hogy a legnagyobb eleme. Legyen például a pozitív egész számok halmaza. Ekkor az 1 kivételével minden számra , az "eljárás'' tehát az 1-től különböző számokat növeli. legnagyobb eleme ‐ ha van ‐ tehát csak az 1 lehet; legnagyobb elem természetesen nem létezik, állításunk igaz, de semmitmondó.
|
|