Kezdőlap


Feladat:	F.2586	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bereczky Á. , Blahota I. , Bóna M. , Csott R. , Cynolter G. , Fodróczy T. , Grallert Ágnes , Grallert Krisztina , Habony Zs. , Jinda B. , Keleti T. , Kovács 666 T. , Olasz-Szabó M. , Őrsi A. , Pál G. , Patthy Júlia , Pongor G. , Ribényi Á. , Rimányi R. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Takács Á. , Talata I. , Tasnádi T. , Varga 308 G. , Varga Zs. , Vargay P. , Zaránd G.
Füzet:	1986/november, 377 - 378. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szimmetrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: F.2586

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (2)-ben szereplő $x y$ , $y z$ , valamint $z x$ mennyiségekre, mint új ismeretlenekre vezessük be az $A$ , $B$ , $C$ jeleket. Ezekkel (2) így alakul:

\begin{matrix} A + B + C = 1. \end{matrix}

(2')

(1)-ből tudjuk, hogy

x

y

z

nullától különböznek; ezzel a feltétellel új gyök nyerése nélkül (1)-et megszorozhatjuk

(x y z)

-vel:

\begin{matrix} 3 (x^{2} y z + y z) = 4 (y^{2} x z + x z) = 5 (z^{2} x y + x y) . \end{matrix}

Az itt szereplő összes tag könnyen kifejezhető

A

B

C

-vel, például

x^{2} y z = (x y) (x z) = A C

, tehát (1)-ből

\begin{matrix} 3 (A C + B) = 4 (A B + C) = 5 (B C + A) . \end{matrix}

(1')

A zárójelben álló tényezők (2') segítségével szorzattá bonthatók. Például (2')-ből

B = - A - C + 1

, tehát

\begin{matrix} A C + B = A C - A - C + 1 = (A - 1) (C - 1), \end{matrix}

s hasonlóképpen a többi. Tehát

\begin{matrix} 3 (A - 1) (C - 1) = 4 (A - 1) (B - 1) = 5 (B - 1) (C - 1), \end{matrix}

(1'')

s (2')-ből

\begin{matrix} (A - 1) + (B - 1) + (C - 1) = - 2. \end{matrix}

(2'')

Ezzel az eredetinél lényegesen egyszerűbb egyenletrendszert kaptunk az

u = = A - 1

v = B - 1

w = C - 1

mennyiségekre:

\begin{matrix} 3 u w = 4 u v = 5 v w, u + v + w = - 2. \end{matrix}

(3)

A kettős egyenlőség egyértelműen meghatározza

u

v

és

w

arányát (feltéve persze, hogy egyik sem nulla), ennek alapján a másik egyenlőség pedig értéküket.
Vegyük észre, hogy míg (3)-ig eljutottunk, igyekeztünk az egyenletek "szimmetriáját'' megőrizni ‐ például új ismeretlent vezettünk be

x y

y z

és

z x

helyébe is; (1)-et nem bontottuk két egyenletre; vagy (1')-ben nem

A

B

C

valamelyikét helyettesítettük a (2')-ből kiadódó értékkel, hanem mindhármat. Továbbá lényegesen kihasználtuk, hogy (2) jobb oldalán éppen 1 áll, ám az (1)-ben szereplő 3, 4, 5 számok helyére tetszőlegeseket írva megoldásunk (legalábbis eddig a pontig) működik.
Térjünk vissza (3)-hoz. Láttuk, hogy két eset van:

u

v

w

közül valamelyik nulla;
b)

u

v

w

egyike sem nulla.

Ez utóbbi esetben a korábban mondottak szerint meghatározhatjuk

u

v

és

w

arányát:

\begin{matrix} u : v : w = 5 : 3 : 4; \end{matrix}

és így (3) második egyenletéből

u = - 5 / 6

v = - 3 / 6

w = - 4 / 6

; vagyis

A = = x y = u + 1 = 1 / 6

B = y z = v + 1 = 1 / 2

C = x z = w + 1 = 1 / 3

. Ezek az értékek természetesen kielégítik az (1')‐(2') egyenletrendszert; továbbá

A B C = x^{2} y^{2} z^{2} = 1 / 36

, tehát

x y z = 1 / 6

vagy

- 1 / 6

. Innen tovább az első esetben

\begin{matrix} x = \frac{x y z}{y z} = \frac{x y z}{B} = \frac{1}{3}, y = \frac{x y z}{C} = \frac{1}{2}, z = \frac{x y z}{A} = 1; \end{matrix}

a másodikban

\begin{matrix} x = - \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{2}, z = - 1, \end{matrix}

s mindkettő természetesen megoldása az eredeti egyenletrendszernek is.
Hátra van még az a) eset, vagyis ha

u

v

w

között van nulla. Ekkor (3) szerint mindhárom kettes szorzat értéke nulla, tehát

u

v

és

w

között legalább két nulla van ‐ és ekkor a harmadik értéke

- 2

. Ez azt jelenti, hogy

A

B

C

közül kettőnek értéke 1, egynek értéke pedig

- 1

. Így

A B C = - 1

, ami

A B C = = x^{2} y^{2} z^{2}

-tel összevetve azt mutatja, hogy innen nem adódik új megoldás.
Összefoglalva, az egyenletrendszernek két megoldása van: (

1 / 3

1 / 2

1

), illetve (

- 1 / 3

- 1 / 2

- 1