Feladat: F.2584 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Biró J. ,  Bóna M. ,  Csott R. ,  Cynolter G. ,  Domokos M. ,  Fodróczy T. ,  Gyuris V. ,  Habony Zs. ,  Hajdú G. ,  Hantosi Zs. ,  Janszky J. ,  Jinda B. ,  Kelemen Eszter ,  Keleti T. ,  Kovács 123 L. ,  Kovács 666 T. ,  Máté Nóra ,  Mátrai Katalin ,  Olasz-Szabó M. ,  Pál G. ,  Ribényi Á. ,  Rimányi R. ,  Rozgonyi T. ,  Sass B. ,  Szalay Gy. ,  Tasnádi T. ,  Varga Zs. ,  Vargay P. ,  Zaránd G. ,  Zsigmond L. 
Füzet: 1986/október, 304. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Részhalmazok, Számhalmazok, Skatulyaelv, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/május: F.2584

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott számhalmaz H, A⊂H pedig ennek egy részhalmaza. Az A-beli számok összege legalább 0 (és éppen 0, ha A az üres halmaz); és legfeljebb a H-beli számok összege, ami biztosan kisebb 10⋅99=990-nél. Így a részhalmazokban található számok összege 990 darab egész szám közül kerül ki.
A H halmaz 10 elemű, tehát összesen 210=1024 részhalmaza van (beleértve az üres halmazt és magát H t is). A skatulya-elv értelmében tehát van H-nak két különböző részhalmaza, amelyekben az elemek összege megegyezik. Ha most ezekből elhagyjuk a közös részüket, akkor továbbra is különböző, azonos elemösszegű, de most már közös elem nélküli halmazokat kapunk. Ezzel a feladat állítását bizonyítottuk.

 

Megjegyzés. A feladat állítása a következőképpen is fogalmazható: ha a 0<a1<a2<...<a10 egész számok olyanok, hogy a belőlük alkotható összes összeg különböző, akkor a10≥100. Általában ha a 0<a1<a2<...<an egészekből alkotható összegek mind különbözők, akkor an>2n/n.