Kezdőlap


Feladat:	F.2580	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Báder A. , Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr A. , Blahota I. , Bóna M. , Csott R. , Cynolter G. , Domokos M. , Fodróczy T. , Grallert Ágnes , Grallert Krisztina , Gyuris V. , Habony Zs. , Hantosi Zs. , Janszky J. , Jedlovszky P. , Jinda B. , Keleti T. , Ládonyi P. , Ligeti Z. , Makay G. , Olasz-Szabó M. , Pál G. , Pálmai L. , Ribényi Á. , Rimányi R. , Rozgonyi T. , Sass B. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Takács Á. , Tasnádi T. , Varga Tünde , Zaránd G.
Füzet:	1986/november, 375 - 376. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/április: F.2580

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a bal oldal értéke nem függ az $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ számok előjelétől, a jobb oldal pedig nem csökken, ha mindegyik előjelét pozitívra változtatjuk, elég a fenti egyenlőtlenséget pozitív $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ számokra bizonyítani.
A négyzetes és a számtani közép közti egyenlőtlenséget kétszer, vagy a negyedik hatványközép és számtani közép közti egyenlőtlenséget felhasználva:

\begin{matrix} N = \sqrt[4]{\frac{{(\frac{a}{b})}^{4} + {(\frac{b}{c})}^{4} + {(\frac{c}{d})}^{4} + {(\frac{d}{e})}^{4} + {(\frac{e}{a})}^{4}}{5}} \geq \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{e} + \frac{e}{a}}{5} = A . \end{matrix}

(1)

Másrészt a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint a pozitív

\frac{a}{b}

\frac{b}{c}

\frac{c}{d}

\frac{d}{e}

\frac{e}{a}

számokra:

\begin{matrix} A = \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{e} + \frac{e}{a}}{5} \geq \sqrt[5]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{e} \cdot \frac{e}{a}} = 1. \end{matrix}

(2)

Azt kaptuk tehát, hogy

N \geq A \geq 1

. Ezekkel a jelölésekkel a bizonyítandó állítás az

\begin{matrix} 5 N^{4} \geq 5 A \end{matrix}

alakba írható. De

N \geq 1

, mint láttuk, így

N^{4} \geq N

, másrészt (1) szerint

N \geq A

, tehát

\begin{matrix} N^{4} \geq N \geq A, és így N^{4} \geq A, \end{matrix}

azaz

5 N^{4} \geq 5 A

valóban. Egyenlőség pontosan akkor van, ha

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{e} = \frac{e}{a}, azaz a = b = c = d = e . \end{matrix}

Megjegyzés. A feladat nyilván általánosítható: ha

k

n

pozitív egészek,

k

páros, akkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{k} \geq \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, \end{matrix}

feltéve, hogy

x_{1} x_{2} ... x_{n} = 1