Feladat: F.2578 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/november, 374 - 375. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Exponenciális egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/április: F.2578

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 3z függvény szigorúan monoton nő, és minden z-re értelmes, a feladat egyenlőtlensége tehát ekvivalens az alábbival:

x+1x>y+1y.
Ez az egyenlőtlenség nyilván értelmetlen, ha x vagy y értéke nulla, a két koordináta-tengely pontjai tehát nem lehetnek megoldások. Nyilván nincs megoldás a II. síknegyedben, ahol x<0<y, hiszen ekkor x+1x<0<y+1y. Ugyanilyen megfontolásból a IV. (nyílt) síknegyed viszont teljes egészében megoldás, itt ugyanis x>0>y, tehát x+1x>0>y+1y.
A továbbiakban elég az I. és III. síknegyedet vizsgálni. E két negyedben x és y előjele megegyezik, tehát xy>0. (Az yx=0 esetet már kizártuk.) Rendezzük a fenti egyenlőtlenséget és szorozzuk végig xy-nal (tehetjük, mert xy>0):
xy(x-y)(1-1xy)>0
azaz
(x-y)(xy-1)>0.

Az I. és III. síknegyednek tehát pontosan azok az (x,y) pontjai megoldások, amelyekre
x>yésxy>1
vagy
x<yés(0<)xy<1.
x>y az x=y egyenes alatti, x<y az x=y egyenes fölötti félsíkban teljesül. 0<xy<1 az I. síknegyedben az y=1x hiperbola alatt, a III. síknegyedben e hiperbola fölötti pontokra, az xy>1 az I. síknegyedben az y=1x hiperbola fölötti, a III. síknegyedben e hiperbola alatti pontokra teljesül. Ennek alapján a feladat egyenlőtlenségének eleget tevő pontokat az alábbi ábra besatírozott része ábrázolja. A határok (az y=1x hiperbola, az x=y egyenes és a tengelyek) sehol nem tartoznak a megoldáshalmazhoz.