Feladat: F.2576 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Buczkó F. ,  Csott R. ,  Cynolter G. ,  Dinnyés Enikő ,  Fabó Gy. ,  Forgács Ágnes ,  Grallert Ágnes ,  Janszky J. ,  Kántor A. ,  Kelemen E. ,  Kiss 969 Cs. ,  Kiss A. ,  Kovács 666 T. ,  Ligeti Z. ,  Lozsi I. ,  Majzik I. ,  Pásztor L. ,  Pomázi G. ,  Sass B. ,  Szegedi Nóra ,  Takács Á. ,  Udud Zs. ,  Veres I. 
Füzet: 1986/november, 373 - 374. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Csonkagúlák, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: F.2576

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az A1B1C1 háromszög területe t, az ABC háromszögé T, a csonka gúla magassága m.

 
 

Ismeretes, hogy a csonka gúla alapjai hasonlók, és a hasonlóság aránya t/T. Ugyancsak hasonlók az ABCP és A1B1C1Q tetraéderek, hiszen alapjaik pl. a csonka gúla ABC és A1B1C1 "párhuzamos helyzetű'' alapjai, oldaléleik pedig Q származtatása révén párhuzamosak, továbbá a Q pont az A1B1C1 sík A, B, C-vel ellentétes oldalán van. A hasonlóság aránya itt is t/T. E két tetraéder közül az előbbi magassága m, így az utóbbié m⋅t/T. Ezért az ABCQ tetraéder magassága m+m⋅t/T, tehát térfogata T(m+m⋅t/T)/3=m(T+Tt)/3. Az ABB1A1C gúla térfogata a csonka gúla m(t+t/T+T)/3 és az A1B1C1C tetraéder tm/3 térfogatának különbsége, vagyis m(t+Tt+T)/3. Tehát a két test térfogata valóban egyenlő.
 

Megjegyzés. A feladatban leírt csonka gúla speciális esetben hasáb, és ekkor nem egészíthető ki gúlává. A közölt megoldásban nem használtuk ki a gúla csúcsának létezését, amint azt számos megoldónk tette.