|
Feladat: |
F.2575 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Bóna M. , Cynolter G. , Grallert Ágnes , Hantosi Zs. , Jinda B. , Keleti T. , Kintli L. , Ligeti Z. , Pál G. , Ribényi Á. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit |
Füzet: |
1987/január,
21 - 22. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvények folytonossága, Sorozat határértéke, Függvény határértéke, Számtani sorozat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/március: F.2575 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy van olyan monoton növő divergens sorozat, amellyel az (1) szerint elkészített értéke minden -re ugyanannyi, mégpedig . A sorozat ekkor nyilván konvergens, határértéke pedig Legyen az , és tegyük fel, hogy az sorozat -nél kisebb indexű elemeit már megadtuk a megfelelő módon, azaz és . Vizsgáljuk meg, hogyan kell az értékét megválasztanunk, hogy továbbra is fennálljon és . Felhasználva, hogy pontosan akkor teljesül, ha
| | (2) |
| | (3) | Ha most a (3) egyenletnek van -nél nagyobb gyöke, akkor ezek egyikét választva -nek, (2) szerint , vagyis , a sorozat monoton növő marad. Másfelől ugyancsak (2) szerint
| | (4) | az így definiált sorozat szomszédos elemei között tehát legalább a különbség, az sorozat ezért valóban divergens. Mivel , definíciónk helyességéhez meg kell mutatnunk, hogy ha , akkor a egyenletnek van -nél nagyobb gyöke. Az függvény folytonos az intervallumon, és ismeretes, hogy , következésképp az függvény minden -nél nagyobb értéket fölvesz az intervallumban, így a (3)-beli -t is. (Megmutatható, hogy az szigorúan monoton növő az intervallumban, a (3) egyenlet -nél nagyobb gyöke és így a (2) összefüggéssel meghatározott sorozat egyértelmű.) Az sorozat tehát létezik és megfelel a követelményeknek.
Megjegyzések. 1. Könnyen látható, hogy a feladat feltételei mellett a sorozat határértékeként az mellett minden szám szóba jöhet. Ha ugyanis akkor nyilván léteznek olyan számok, amelyekre Ezután az választással
| | és ha most -re a megoldásban szereplő sorozatot választjuk, akkor továbbra is azaz , ha , az így kapott pedig továbbra is szigorúan monoton nő és divergens marad. 2. A 2514. feladatban azt kellett igazolni (a megoldást lásd az 1985. évi 10. szám 446‐447. oldalán), hogy ha az sorozatra a most kiróttakon kívül még az is teljesül, hogy a tagjai egész számok, akkor amennyiben a sorozat konvergens, a határértéke csak nulla lehet! A közölt megoldásban a sorozatról beláttuk, hogy a -hez tart, ami most is igaz. Akkor azonban ebből arra következtettünk, hogy egészekről lévén szó, végtelen sok -re teljesül. A bizonyításhoz annyi is elég lett volna, hogy létezzék olyan szám, hogy végtelen sok -re teljesüljön. Nos, ezúttal éppen ez nem igaz; tart ugyan a -hez, de lassan: megmutatjuk, hogy a különbségsorozatnak nincs pozitív alsó korlátja, ez a sorozat a -hoz tart. Mivel esetünkben és a logaritmusfüggvény folytonos, elegendő, ha az sorozat konvergens és a határértéke . A (4) összefüggés szerint . Mindkét oldalon -nel osztva kapjuk, hogy
Ismeretes, hogy , ahonnan miatt az (5) jobb oldalán álló sorozat konvergens és a határértéke . Innen következik, ami a bizonyítandó állítással ekvivalens.
|
|