Feladat: F.2571 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1986/szeptember, 258 - 259. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Kombinatorika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: F.2571

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a poliéder lapja között öt vagy annál több oldalú sokszög is előfordulna, akkor a testnek legalább 6 lapja lenne. Ezért a lapok között csak háromszögek és négyszögek lehetnek. Jelölje e az élek számát, és legyen a háromszöglapok száma k. A négyszögeké ekkor 5-k. A test éleit laponként összeszámolva az élek számának kétszeresét kapjuk, azaz

2e=3k+4(5-k),amiből k=20-2e.
Ezért k páros, és mivel k≤5, csak k=0, 2, 4 lehetséges.
A k=0 eset nem ad megoldást. Nem létezik ugyanis olyan konvex poliéder, amelynek 5 négyszöglapja lenne. Ha ugyanis egy csúcsban 4 négyszöglap találkozna, az ötödiknek 8 élhez kellene csatlakoznia, ami lehetetlen. Ha viszont minden csúcsban csak 3 négyszöglap találkozna, akkor a csúcsokat laponként összeszámolva, a csúcsok száma 5⋅43 lenne, ami ugyancsak lehetetlen, hisz a kapott érték nem egész.
A k=2 esetben két háromszög és három négyszög határolta testről van szó. Itt három négyszöglapnak nem lehet közös csúcsa, mert az élben csatlakozó két háromszöglap további négy éle nem illeszthető 6 darab négyszög-élhez. Így a két háromszöglap ,,szemben'' fekszik. Ilyen test pl. a háromszög alapú hasáb, általában pedig a ferdén metszett 3 oldalú gúla.
A k=4 esetben egy négyszöglap mindegyik oldalához egy háromszöglap csatlakozik. Ez a poliéder a négyszög alapú gúla.
Tehát kétféle ötlapú konvex poliéder létezik.
 

Megjegyzés. Több megoldó felhasználta a konvex poliéderekre érvényes Euler-tételt, amely szerint l+c=e+2, ahol l a lapok, c a csúcsok, e pedig az élek száma. Ez most azt adja, hogy c=e-3. Mivel minden csúcsból legalább három él indul, 3c≤2e, azaz c≤2e3. E két összefüggésből 2e3≥e-3, és így e≤9. Tekintve, hogy a csúcsok száma legalább 5, hiszen az egyetlen 4 csúcsú test nyilván a tetraéder, az is következik, hogy e≥8. Tehát két eset lehetséges: e=8 vagy pedig e=9. A megoldás most már a fentihez hasonlóan fejezhető be.
 

Ilyen módon vizsgálható meg az is, hogy hányféle hatlapú konvex poliéder van. Az a válasz, hogy hétféle.
Ismeretes a feladat megoldása 7, 8 és 9 lapú poliéderekre is, de 9-nél több lap esetére nem.