Kezdőlap


Feladat:	F.2569	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Biró J. , Bozó A. , Csott R. , Cynolter G. , Deák Csaba , Dinnyés Enikő , Hantosi Zs. , Horváth E. , Kántor A. , Kiss 969 Cs. , Ligeti Z. , Majzik I. , Mongáth B. , Olasz-Szabó M. , Pál G. , Rimányi R. , Szalay Gy. , Zaránd G.
Füzet:	1986/szeptember, 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkidomok átdarabolása, Beírt kör középpontja, Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: F.2569

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy sikerült egy $t$ területű $K$ kört három egyenessel hét egyenlő területű részre darabolunk. A három egyenes ekkor a kör belsejében, páronként különböző pontokban metszi egymást. Legyenek ezek a metszéspontok $P$ , $Q$ és $R$ , az egyenesek és a kör metszéspontjai pedig $A$ , $B$ , $...$ , $F$ az ábra szerint.

A feltétel szerint mindhárom egyenes

3 : 4

arányban osztja két részre a

K

kör területét, ezért egyenlő távolságra vannak a kör

O

középpontjától. Ez azt jelenti, hogy

O

egyúttal a

P Q R

háromszög

k

beírt körének a középpontja.
Legyen most

T

az a pont, ahol ez a kör érinti a

P Q

oldalt. Messe a

T

-n átmenő,

A B

-vel, illetve

C D

-vel párhuzamos egyenes a

K

kör rövidebbik

{E F}_{}^{⌢}

ívét a

G

és a

H

pontban. Ekkor a

T H

T G

szakaszok és a

{H G}_{}^{⌢}

ív határolta idomnak az

O

-ra vonatkozó tükörképe tartalmazza a hasonló,

t / 7

területű

R A C

síkidomot, hiszen a

T

tükörképe is a

k

körön van.
Így

t / 7 = t_{R A C} < t_{T H G}

, másrészt nyilván

t_{T H G} < t_{P D B Q} = t / 7

. A kapott ellentmondás azt jelenti, hogy a mondott típusú felosztás nem létezik.