Feladat: F.2566 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Csott R. ,  Dinnyés Enikő ,  Domokos M. ,  Drasny G. ,  Grallert Ágnes ,  Gyuris V. ,  Habony Zs. ,  Hajdú G. ,  Hantosi Zs. ,  Janszky J. ,  Kántor A. ,  Kintli L. ,  Montágh B. ,  Olasz-Szabó M. ,  Pál G. ,  Pongor G. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Szalay Gy. ,  Szederkényi Judit ,  Vargay P. ,  Vindics P. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/december, 435 - 436. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Magasabbrendű deriváltak, Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvények folytonossága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: F.2566

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételeknek megfelelő tetszőleges x,y,z számhármas esetén jelölje t a három szám közül nagyság szerint a középsőt (egyenlőség lehetséges). A másik kettő összege ekkor 1-t, és mivel egyikük sem nagyobb a másik kétszeresénél, a különbségük legfeljebb 1-t3 lehet. Felhasználva az u⋅v=(u+v)2-(u-v)24 azonosságot, a két "szélső'' szám szorzata nagyobb vagy egyenlő, mint

 
(1-t)2-(1-t3)24=29(1-t)2.

 

A három szám szorzata eszerint biztosan nem kisebb, mint 29t(1-t)2.
Vizsgáljuk meg, milyen határok közé eshet t, a három szám közül a középső. Mivel a legnagyobb szám legfeljebb 2t és legalább t, a legkisebb pedig legfeljebb t és legalább t2, ezért

2t+t+t≥x+y+z≥t+t+12,ahonnan14≤t≤25.



Azt kaptuk, hogy minden, a feltételeknek megfelelő x,y,z számhármasra van olyan t∈[14;25], hogy xyz≥f(t)=2/9⋅t(1-t)2. A három szám szorzata tehát biztosan nem kisebb, mint az f függvény minimuma az [14;25] intervallumon, ez utóbbi pedig létezik, hisz az f folytonos. Az is igaz, hogy tetszőleges t∈[14;25] esetén az 1-t3,t,23(1-t) számok összege 1, egyikük sem nagyobb a másik kétszeresénél, szorzatuk pedig éppen f(t)-vel egyenlő. Így az adott xyz szorzatoknak is létezik a minimuma, és az éppen az f minimumával egyenlő a megadott intervallumon.
 
 

Az f függvény konkáv az [14;25] intervallumban, hiszen a második deriváltja, f''(t)=-29(4-6t) itt negatív, ezért f az [14;25] -beli minimumát az intervallum valamelyik végpontjában veszi fel.
Behelyettesítve f(14)=132<4125=f(25), így a függvény minimuma az 14 helyen van. A három szám szorzata tehát legalább 132, és akkor pontosan ennyi, ha a számok rendre 14,14és12.