Kezdőlap


Feladat:	F.2561	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/szeptember, 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: F.2561

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minden $n \geq 2$ -re $a_{n + 2} = a_{n} - a_{n - 1}$ , és itt $a_{n + 2}$ pozitív, tehát $a_{n} > a_{n - 1}$ , minden $n \geq 2$ -re. Ezért az $a_{1} < a_{2} < ... < a_{n} < ...$ sorozat szigorúan monoton nő.
Másrészt tudjuk, hogy $a_{4} = a_{2} - a_{1}$ , azaz $a_{1} + a_{4} = a_{2}$ . Miután $a_{1} > 0$ , ezért $a_{2} > a_{4},$ ami ellentmond annak, hogy a sorozat nő.
Nincs tehát a feladat feltételeit kielégítő sorozat.

II. megoldás. A feltételek szerint

\begin{matrix} a_{6} = a_{4} - a_{3}, \\ a_{5} = a_{3} - a_{2} és \\ a_{4} = a_{2} - a_{1} . \end{matrix}

Összeadva a három egyenletet, és mindkét oldalból

a_{4}

-et levonva

\begin{matrix} a_{6} + a_{5} = - a_{1} . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy

a_{6}

a_{5}

a_{1}

mindegyike nem lehet pozitív. A feladat feltételét kielégítő sorozat tehát valóban nem létezik.

Megjegyzés. Ha egy pozitív tagú sorozat minden

n \geq 2

-re teljesíti az

a_{n + 2} = a_{n} - a_{n - 1}

feltételt, akkor a II. megoldás szerint legfeljebb öt eleme van. Ilyen öt elemű sorozat pl.:

1

2

3

1

1