A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a oldal felezőpontját -fel, a beírt körnek az , befogón levő érintési pontját -gyel, ill. -gyel. Felhasználjuk, hogy minden háromszögben a szokásos jelölések mellett , esetünkben pedig, mivel az idom négyzet, azért a beírt kör sugara:
1. ábra Megmutatjuk, hogy a kérdéses pont a tükörképe az befogó felezőpontjára nézve, vagyis . A és háromszögek nyilvánvaló hasonlóságából ahonnan | |
A számlálót ‐ kifejtve és a Pitagorasz-tétel alkalmazásával ‐ szorzattá alakítjuk: | | a nevező pedig a második -képlet átrendezésével -vel egyenlő. Így ‐ ismét alapján ‐
| | ennélfogva és , amint állítottuk. Ezek alapján a vizsgálandó arány az derékszögű háromszög alapján | | hiszen felezi a szöget. Megjegyzések. 1. Szigorúan véve kifejezés lett volna a helyes, de mindjárt átgondoltuk, hogy a nagyságviszony lehetetlen. 2. Könnyű belátni, hogy az a pont, ahol az háromszög oldalához "hozzáírt külső érintő kör'' érinti ezt az oldalt. Ez a számolás útján nyert "szerkezeti összefüggés'' újabb megoldás keresésére sarkallhat.
II. megoldás. Rajzoljuk meg a beírt kör befogóval párhuzamos másik érintőjét. Messe ez a háromszög oldalait az , ill. pontban, az érintési pontot pedig jelölje (2. ábra).
2. ábra A megoldás alapötlete az ‐ a 2. megjegyzés értelmében most már nyílt kártyákkal játszunk ‐, hogy a háromszöget -ből a háromszögbe nagyítva a -be megy át. Ezt persze most újra bizonyítanunk kell, de a lépések "maguktól adódnak''. Szükség van a szakasz felezőpontjára ‐ legyen ez . Ekkor , és ez épp , hisz az háromszög beírt körének átmérőjével egyenlő. Az négyszögben tehát , és ez a két oldal nyilván párhuzamos is. A négyszög tehát paralelogramma, így másik két oldala is párhuzamos, és nekünk éppen erre volt szükségünk, hiszen az említett nagyítás során az -en átmenő, -gal párhuzamos egyenesbe, tehát az -be megy át. Mivel pedig az be megy át, a képe valóban a . Most akár betorkollhatnánk az előző megoldás gondolatmenetébe is, azonban az eddigiek alapján gyors befejezést találhatunk. A talált hasonlóság miatt a keresett arány -gal egyenlő. , így a keresett arány az derékszögű háromszögben . Mivel ‐ az és az csúcsú, párhuzamos szárú szögek szögfelezőiről van szó ‐ másrészt az és az szögek merőleges szárú hegyesszögek, és így egyenlők. A keresett arány ezért az szögnek ‐ tehát az -nál levő szög felének ‐ a tangense. |