Kezdőlap


Feladat:	F.2549	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kintli Lajos
Füzet:	1986/május, 199 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Inverz függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: F.2549

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} f (x) = 4^{sin^{2} x} + 8^{cos^{2} x} = 4^{sin^{2} x} + 8^{1 - sin^{2} x} = 2^{2 sin^{2} x} + 8 \cdot 2^{- 3 sin^{2} x} . \end{matrix}

Minthogy

2^{2 sin^{2} x}

köbének és

2^{- 3 sin^{2} x}

x

négyzetének a szorzata 1, ezért

2^{2 sin^{2} x}

-et három ,,harmadra'',

8 \cdot 2^{- 3 sin^{2} x}

-et két "fél"-re bontva a kapott öt mennyiség,

\begin{matrix} \frac{2^{2 sin^{2} x}}{3}, \frac{2^{2 sin^{2} x}}{3}, \frac{2^{2 sin^{2} x}}{3}, 4 \cdot 2^{- 3 sin^{2} x} és 4 \cdot 2^{- 3 sin^{2} x} \end{matrix}

mértani közepe nem függ

x

-től:

\begin{matrix} G = \sqrt[5]{{(\frac{2^{2 sin^{2} x}}{3})}^{3} \cdot {(4 \cdot 2^{- 2 sin^{2} x})}^{2}} = \sqrt[5]{\frac{16}{27}} . \end{matrix}

Ugyanennek az öt számnak a számtani közepe

\frac{f (x)}{5}

, és mivel az öt szám mindegyike pozitív, fennáll rájuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség:

\begin{matrix} \frac{f (x)}{5} ≧ \sqrt[5]{\frac{16}{27}}, azaz f (x) ≧ 5 \cdot \sqrt[5]{\frac{16}{27}} . \end{matrix}

(1)

Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az öt szám mindegyike egyenlő, azaz

\frac{2^{2 sin^{2} x}}{3} = 4 \cdot 2^{- 3 sin^{2} x}

. Ez egyenértékű a

\begin{matrix} sin x = \pm \sqrt[]{\frac{1}{5} log_{2} 12} = \pm \sqrt[]{\frac{lg12}{5 lg2}} \approx \pm 0,847 \end{matrix}

(2)

egyenlettel. Az első negyedben

\begin{matrix} x^{*} = arc sin \sqrt[]{\frac{1}{5} log_{2} 12} \approx arc sin 0,847 \approx 1,0099 \end{matrix}

a megoldás, s innen (2) összes megoldása

\begin{matrix} x_{1} = x^{*} + k π, x_{2} = - x^{*} + k π, (k egész) . \end{matrix}

Ezeken a helyeken lesz a függvény minimális, és a minimum értéke

5 \cdot \sqrt[5]{\frac{16}{27}} .