Kezdőlap


Feladat:	F.2548	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/május, 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: F.2548

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az egyenlőség mindkét oldalán elvégezzük a szorzást, és mindkét oldalhoz l-et hozzáadunk, akkor a bal oldalon $x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{1} + 6 x + 1 = {(x^{2} + 3 x + 1)}^{2}$ , tehát négyzetszám áll. Így a jobb oldalnak, $(y^{2} + y + 1)$ -nek is négyzetszámnak kell lennie. Ha $y ≧ 1$ , akkor

\begin{matrix} y^{2} < y^{2} + y + 1 < {(y + 1)}^{2}, \end{matrix}

ha pedig

y ≦ - 2

, akkor

\begin{matrix} y^{2} > y^{2} + y + 1 > {(y + 1)}^{2}; \end{matrix}

y^{2} + y + 1

mindkét esetben két szomszédos négyzetszám közé esik, tehát nem lehet négyzetszám.
Marad az

y = 0

és az

y = - 1

eset. A jobb oldal mindkét esetben nulla, tehát a bal oldalnak is nullának kell lennie.

x

lehetséges értékei így

0, - 1, - 2

és

- 3

. Az egyenletnek tehát nyolc egész

(x, y)

számpár tehet eleget:

\begin{matrix} (0,0), (- 1,0), (- 2,0), (- 3,0), \end{matrix}

\begin{matrix} (0, - 1), (- 1, - 1), (- 2, - 1), (- 3, - 1) . \end{matrix}

Ez a nyolc számpár pedig valóban megoldása az egyenletnek.