I. megoldás. $a^3+2a$ szorzattá bontható: $a^3+2a=a\left(a^2+2\right)$. Belátjuk, hogy $a^4+3a^3+1$ a fenti szorzat mindkét tényezőjéhez relatív prím. $a^4+3a^2+1$ az első tényezővel, $a$-val osztva $1$ maradékot ad, tehát $\left(a^4+3a^2+\mathrm{1,}a\right)=1$. Másrészt $a^4+3a^2+1=\left(a^2+2\right)\left(a^2+1\right)-1$, tehát $a^4+3a^2+1$ a második tényezővel, $\left(a^2+2\right)$-vel osztva $-1$ maradékot ad, így $\left(a^4+3a^2+\mathrm{1,}{a}^2+2\right)=1$.
Ha egy szám egy szorzat mindkét tényezőjéhez relatív prím, akkor szorzatukhoz is relatív prím, tehát $\left(a^4+3a^2+\mathrm{1,}{a}^3+2a\right)=1$ minden egész $a$-ra.
II. megoldás. Megmutatjuk, hogy minden természetes számra $\left(a^4+3a^2+\mathrm{1,}{a}^3+2a\right)=1$. Ha a nullát természetes számnak tekintjük, akkor $a=0$-ra $\left(\mathrm{1,0}\right)=1$. Ha $a\geqq 1$, akkor az euklideszi algoritmust alkalmazva: