|
Feladat: |
F.2540 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánkövi J. , Baross Á. , Beke T. , Bereczky Á. , Berszám F. , Biró J. , Blahota I. , Bodor Cs. , Bóna M. , Bortel L. , Csott R. , Cynolter G. , Drahos E. , Drasny G. , Grallert Ágnes , Gyuris V. , Habony Zs. , Hantosi Zsolt , Istanovszki M. , Janszky J. , Jedlovszky P. , Klug R. , Lengyel 24 Cs. , Ligeti Z. , Majoros L. , Makó B. , Mátrai K. , Olasz-Szabó M. , Pál G. , Rimányi R. , Szabó 149 T. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Várkonyi V. , Vasy A. , Zaránd G. |
Füzet: |
1986/március,
103 - 106. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Trigonometriai azonosságok, Magasságpont, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/szeptember: F.2540 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés. Jobban fejezzük ki a dolgozatok tartalmát, ,,műfaját'', ha a szokásos ‐és kissé sablonos ‐ ,,megoldás'' szó helyett ezúttal mást használunk. Mindig célszerű mérlegelni, hogy rokon értelmű szavak közül melyik a találóbb. I. hozzászólás. A javaslat nem szab ki feltételt a háromszögre, így az egyaránt lehetne hegyes-, derék- és tompaszögű is. Viszont a derékszögű háromszögeket ,,kapásból'' kizárhatjuk, hiszen azokban azonos a derékszög csúcsával, tehát valamelyik nevező . Továbbá ,,belső szemlélet'' útján látjuk, hogy ,,nagyon lapos'' háromszögekben mindegyik csúcstól messzebb van, mint a megfelelő oldal (1. ábra), tehát (1) bal oldala az értéket sem éri el. Egyszerű számpélda is mutatja, hogy (1) nem érvényes, ha és , pl. , amikor , az háromszög szabályos, és a bal oldal értéke (2. ábra).
1. ábra
2. ábra Megmutatjuk viszont, hogy (1) minden hegyesszögű háromszögre érvényes. Ilyenkor a háromszög belsejében van, a háromszög területe egyenlő az , , háromszögek területének összegével (3. ábra).
3. ábra
A területek -szeresét véve, a merőleges szárú szögek tétele alapján | | Szorozzuk mindkét oldalt -val, osszuk -val (ami ) és alkalmazzuk a szinusztételt: | | (2) |
A jobb oldal tagjai pozitívak, ezért a számtani és a mértani közepek közti egyenlőtlenség alapján | | (3) | és a jobb oldalon ráismerünk (2) bal oldalának köbgyökére. Mivel kisebb számnak a köbe kisebb, (2) és (3) alapján | | Másrészt nagyobb pozitív szám négyzetgyöke nagyobb, így (osztás után) ami ekvivalens az (1)-beli állítással. Ezt akartuk igazolni. Ezek szerint a feladat állítását finomítani kellene, pl. így: ,,hegyesszögű háromszögekre igazoljuk az (1) egyenlőtlenséget''. II. hozzászólás. Élesebben határozhatjuk meg (1) érvényességi körét, ha a szögekkel kapcsolatos értelmezést adunk a bal oldal hányadosaira. A jelöléseket úgy választjuk, hogy legyen, így , tehát és mindenesetre hegyesszögek.
4. ábra A és derékszögű háromszögek hasonlóságából | | és ha (I. eset, 3. ábra), akkor . Ha pedig (II. eset, 4. ábra), akkor az , háromszögpár hasonlóságából | | (ami egyébként abszolút értéke). Ismeretes, hogy ‐ a derékszögű háromszögek kivételével ‐ minden háromszögben a szögek tangenseinek összege és szorzata egyenlő: Az I. esetben mindhárom tangens pozitív, és fölismerjük, hogy a bal oldal az számtani közepük -szorosa, a jobb oldal pedig a mértani közepük köbe: . Ámde tudjuk, hogy , így , ebből , ami azonos a kérdéses állítással, ha azt -mal osztjuk. A II. esetben (1) így alakul és akkor , így a bal oldali tagok éppen növekvően vannak rendezve. Belátjuk, hogy a harmadik tag nagyobb, mint az első kettőnek az összege: | | (5) | Valóban, és így , tehát a nevezőre teljesül Mármost (5) alapján minden olyan (tompaszögű) háromszög ellenpélda az állításra, amelyben
vagyis amelyben (radiánról mindjárt átszámítottuk fokra a szöget). Következő becslésünk alapján viszont olyan tompaszögű háromszögeket jellemezhetünk, amelyekre teljesül (1). Bebizonyítjuk a következő egyenlőtlenséget: Legyen röviden , így , felhasználjuk továbbá, hogy A bal és a jobb oldal különbségét így alakítjuk:
Mivel a zárójelbeli tört (7) szerint , azért a zárójel, másrészt a kiemelt tényező is pozitív. Ezzel bebizonyítottuk (6)-ot és azt is látjuk, hogy egyenlőség csak esetén áll be. Ha tehát úgy választjuk -t, hogy (4) helyén még az erősebb egyenlőtlenség is teljesüljön, akkor az ilyen háromszögekre érvényes az állítás. Táblázat használata nélkül belátható, hogy ez (azaz ) esetén mindig teljesül, ui. és , ezekkel a két oldal különbsége , hiszen , ‐ továbbá a tangensfüggvény a intervallumban monoton nő. Tehát azt kaptuk, hogy a feladat állítása mindig teljesül, ha a háromszög legnagyobb szöge legfeljebb (és nem derékszög), és biztosan nem teljesül, ha a legnagyobb szög legalább .
|
|