Kezdőlap


Feladat:	F.2539	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Zsuzsanna
Füzet:	1986/február, 65 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Húrnégyszögek, Négyszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/szeptember: F.2539

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A négyszög $D$ csúcsánál levő szöge nyilvánvalóan $60^{\circ}$ . Így az ismert $A D$ oldal végpontjainál levő szögek összege $138^{\circ}$ , kisebb, mint $180^{\circ}$ . Ezért az $A B$ és $D C$ félegyenesek metszik egymást egy $M$ pontban és $A M D ∢ = 42^{\circ}$ . Ez a szög egyben az ugyancsak adott $B C$ oldalra támaszkodó $B C M$ háromszögnek is alkotó része és ebben a további két szög $M B C ∢ = 60^{\circ}$ és $M C B ∢ = 78^{\circ}$ . Ezekből kiszámíthatjuk $M$ -nek mind a négy csúcstól való távolságát, majd alkalmas kivonással az $A B$ és $C D$ oldalakat. Elég lesz azonban pl. $C D$ -t meghatározni, ezután már számíthatjuk az átlókat is.

1. ábra

2. ábra

A szinusztétel kétszeri alkalmazásával:

\begin{matrix} C D = M D - M C = \frac{A D \cdot sin 78^{\circ} - C B \cdot sin 60^{\circ}}{sin 42^{\circ}} . \end{matrix}

Ezt ismerve a koszinusztétel kétszeri alkalmazásával az átlókra:

\begin{matrix} A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D \cdot cos 60^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} - 2 B C \cdot C D \cdot cos 102^{\circ} . \end{matrix}

A számításokat végrehajtva

\begin{matrix} C D = 71, 50 egység, A C = 96, 68 egység, B D = 109, 20 egység . \end{matrix}

Ezzel megadtuk a kívánt választ.

Megjegyzések. 1. Számos versenyző a föntinél jóval bonyolultabb számítás útján jutott eredményre. Küzdöttek azzal, hogy a négyszög keresett átlóit berajzolva, semelyik részháromszögben sincs 3 ismert méret ‐ (lásd pl. a II. megoldást). ‐ Így a trigonometria (az ún. "általános'' háromszög kiszámítása) egyik ismert tételével sem lehet elindítani a számítást.
Visszagondolva ezirányú tanulmányainkra, lényegében így álltunk olyankor is, amikor derékszögű háromszögben már tudtunk számolni, és először kerültünk szembe nem-derékszögű háromszögre vonatkozó feladattal. Akkor valamelyik magasság (pl.

m_{c}

) berajzolásával két derékszögű háromszöget hoztunk létre, majd a "nem is kérdezett'' közös oldalt két irányból kifejezve tételeket kaptunk:

m_{c} = m_{c}

-ből a szinusztételt,

m_{c}^{2} = m_{c}^{2}

-ből a koszinusztételt. Ezeket aztán emlékezetünkbe véstük, tétel-rangra emeltük, miután arról is meggyőződtünk, hogy derékszögnél nagyobb szögek mellett is érvényesek.
Itt is tovább lehet haladni hasonlóan. Aki újra és újra négyszögszámítási feladatokkal kerül szembe ‐ például a geodézia (földmérés) alkalmazásaiban ‐ , annak érdemes tetragonometriai tételeket is keresnie és gyűjteményében őriznie. Az ilyen kapcsolatokban az várható, hogy a négyszögnek 6 mérete, adata forduljon elő, hiszen a négyszöget 5 adat határozza meg. Ez az egyszerű eset.
Példánkban az

M

segédpont és az ott keletkező szög, távolságok játszották az

m_{c}

előbbi segítő szerepét. Könnyű azonban egy általánosabb elvet is kiolvasni a

C D

-re kapott képletből. A négyszög szögeit sorra

α

β

γ

δ

betűvel jelölve, átrendezéssel a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} B C \cdot sin β + C D sin (α + δ) - D A sin α = 0, \end{matrix}

és a kiolvasható tétel: az

A B

oldalra merőleges egyenest

e

-vel jelölve, az

A B C D

négyszög irányított kerületének mint vektor-poligonnak az

e

-re való vetülete nullvektor. Ebben az összefüggésben 3 oldal és 3 szög szerepel, közülük 5 ismert,

C D

kiszámítható. A 2. ábra szerinti

B' C' + C' D' - D' A' = 0

egyenletből számoltunk:

\begin{matrix} C' D' = C D sin F C D ∢ = C D sin F C G ∢ = C D sin (360^{\circ} - β - γ) = C D sin (α + δ) . \end{matrix}

Az irányított kerületnek a sík bármely egyenesére a vetülete 0, speciálisan az

A B

egyenesre való vetülete is ‐ továbbra is a 2. ábrához ragaszkodva

\begin{matrix} A B - B C cos β + C D cos (β + γ) - D A cos α = 0, \end{matrix}

itt azonban 7 adat szerepel. Az

e

-re való vetítéskor az első tag elmarad. Ennek megfelelője háromszögben is megvan, 5 adat közti összefüggés:

A B = C B cos β + C A cos α

.
Gyakorlati alkalmazásokban zárt sokszög helyett nyitott poligonok is szerepelnek ‐ a poligonometria szótól sem ijednek meg. Nyitott poligonhoz utolsó tagként hozzá kapcsoljuk a végpontból a kezdőpontba vivő vektort.
2. Az 1. ábrán a négyszög megszerkesztését is vázoltuk, a lépések sorrendje:

A B^{*}

félegyenes,

α

A D

δ

felmérése,

D M

egyenes;

B^{*}

-ban

β

, majd

B^{*} C^{*} = B C

és

C^{*}

-on át párhuzamos. (Több I. osztályos tanuló megjegyezte: "ezt csak szerkeszteni lehet''.)
3. Nem volt lényeges az eddigiekben, hogy a példában húrnégyszögről van szó. Az alábbi megoldás ezt is használja "fogódzóként''.
B.T.

II. megoldás. A négyszög húrnégyszög, mert szemben fekvő

A

C

csúcsainál levő szögeinek összege

180^{\circ}

, így a

D

-nél levő szög

60^{\circ}

3. ábra

Legyen a körülírt kör középpontja

O

, sugara

r

, az átlók

O

-ból vett látószöge

A O C ∢ = 2 \cdot 60^{\circ}

B O D ∢ = 2 \cdot 78^{\circ}

, és így az átlók

\begin{matrix} A C = 2 r sin 60^{\circ} = \sqrt[]{3} \cdot r, \\ B D = = 2 r sin 78^{\circ}, \end{matrix}

arányuk

\begin{matrix} \frac{A C}{B D} = \frac{\sqrt[]{3}}{2 sin 78^{\circ}} . \end{matrix}

Az arány négyzetére még egy összefüggést kapunk, ha

A C^{2}

-re és

B D^{2}

-re felírjuk a koszinusztételt az

A B C

, ill.

A B D

háromszögből, az

A B

oldalt segédismeretlennek véve. Így másodfokú egyenletet kapunk

A B

-re:

\begin{matrix} \frac{A C^{2}}{B D^{2}} = \frac{A B^{2} + 69^{2} - 2 \cdot 69 \cdot A B \cdot cos 120^{\circ}}{A B^{2} + 110^{2} - 2 \cdot 110 \cdot A B \cdot cos 78^{\circ}} = \frac{3}{4 sin^{2} 78^{\circ}}, \end{matrix}

amiből elég nehéz számítással a pozitív gyök:

A B = 41, 50

. Ezt

A C^{2}

és

B D^{2}

fölírt kifejezéseibe helyettesítve ismét

A C = 96, 68

B D = 109, 20

egység. ‐ Mellesleg

r = 55, 9