Kezdőlap


Feladat:	F.2537	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/április, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Paraméteres egyenletek, Egyenletek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/szeptember: F.2537

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Ha $x$ és $y$ valamelyike nulla ‐ például $x$ ‐, akkor a vizsgált egyenlőség az $y^{p} = 0^{p} + y^{p}$ alakot ölti. Ha most $p \leq 0$ , akkor $0^{p}$ nincs értelmezve, ha viszont $p > 0$ , akkor a kapott egyenlőség minden nemnegatív $y$ -ra értelmes és teljesül.
$b)$ Ha $x$ és $y$ egyike sem nulla, akkor $x$ , $y$ és $x + y$ pozitív, és így $x^{p}$ , $y^{p}$ és ${(x + y)}^{p}$ minden $p$ -re értelmes és természetesen pozitív. Ha mindkét oldalon osztunk ${(x + y)}^{p}$ -nel, akkor az

\begin{matrix} {(\frac{x}{x + y})}^{p} + {(\frac{y}{x + y})}^{p} = 1 \end{matrix}

egyenlőséghez jutunk.
Vezessük be az

u = \frac{x}{x + y}

és a

v = \frac{y}{x + y}

jelöléseket. Ekkor

u + v = 1

, továbbá

u

és

v

pozitív, 1-nél kisebb mennyiségek, tehát a

p \to u^{p}

és a

p \to v^{p}

szigorúan monoton csökkenő függvények. Ez azt jelenti, hogy
ha

p < 1

, akkor

u^{p} > u^{1}

v^{p} > v^{1}

, és így

u^{p} + v^{p} > u + v = 1

;
ha

p = 1

, akkor

u^{p} = u^{1}

v^{p} = v^{1}

, és így

u^{p} + v^{p} = u + v = 1

;
ha

p > 1

, akkor

u^{p} < u^{1}

v^{p} < v^{1}

, és így

u^{p} + v^{p} < u + v = 1

.
Azt kaptuk, hogy ha

x

és

y

egyike sem nulla, akkor

p \neq 1

esetén nincs megoldás, míg ha

p = 1

, akkor bármely pozitív

x

y

számpárra fennáll az egyenlőség.
Összefoglalva: ha

p \leq 0

, akkor a feladatnak nincs megoldása; ha

p > 0

és

p \neq 1

, akkor

x

és

y

egyike nulla, másika pedig tetszőleges nemnegatív szám, ha pedig

p = 1

, akkor mind

x

, mind pedig

y

tetszőleges nemnegatív szám lehet.

Megjegyzés. A megoldásból kiderül, hogy ha

x, y > 0

, akkor

x^{p} + y^{p} > {(x + y)}^{p}

, ha

p < 1

és

x^{p} + y^{p} < {(x + y)}^{p}

, ha

p > 1