A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. A válasz: igen, fel lehet osztani. Sőt mindjárt többet is követelhetünk: egybevágó részekre osztjuk az parallelogrammát. Ismételten támaszkodunk a következő segédtételre: az adott szakasz megfelezhető egyetlen (egyélű, hosszúságmérő beosztást nem tartalmazó, az szakasz hosszát kissé meghaladó) egyenes vonalzó felhasználásával, ha adott vele párhuzamosan egy egyenes ‐ mint esetünkben a oldal egyenese. 2. Felvéve az oldal -n túli meghosszabbításán egy pontot, a és egyenesek metszéspontját -val, az trapéz átlóinak metszéspontját -rel jelölve azt állítjuk, hogy a egyenes kimetszi az szakasz felezőpontját (1. ábra).
1. ábra Bizonyításul gondoljuk berajzolva az -en átmenő, -vel párhuzamos egyenest, és jelöljük az , szárral való metszéspontját -gyel, ill. -vel Ekkor és aránya ‐ a párhuzamos szelők tétele alapján ‐ megadja és arányát, hiszen | |
Másrészt ugyanezt a tételt egymás után a -n, -en, -n átmenő 2‐2 egyenesre alkalmazva. ennélfogva , tehát , amint állítottuk. Segédtételünket ismételgetve kijelöljük az és szakaszok és felezőpontját ( szerepét az a veszi át, ahol metszi -t), majd az egymással egyenlő , , szakaszok , , ill. felezőpontját. Ekkor a szakasz egyenlő részre van felosztva, és az osztópontok felhasználásával egyenlő részre oszthatjuk a szakaszt: legyen és metszéspontja , ekkor a keresett , , , osztópontokat egymás után az , , , egyenesek metszik ki. 3. Ezen a ponton ‐ logikai szempontból ‐ a következő folytatás a legegyszerűbb: ugyanígy megszerkesztjük az szakaszt egyenlő részre felosztó , , , pontokat, és akkor az , , , szakaszok nyilvánvalóan egybevágó részre osztják -t, tehát a területeik egyenlőek. Szerkesztésünk tetszőleges természetes szám esetén használható, addig ismételjük az -n keletkező részek felezgetését, megszerkesztését ( természetes szám), míg lesz Megjegyzések. 1. Ez a megoldás egy másik tekintetben is megemelte a feladatbeli korlátozást: a segédtételt csak az eredeti megfogalmazásában használta fel. 2. A fönti megoldás befejezése csupán ,,logikailag'' egyszerű, amikor valaki csak elmondással (,,szájjal'') szerkeszt. Számlálja csak végig az olvasó, hány egyenest rajzol be, míg megkapja a osztópontot, ekkor még egyszer annyira van szükség -ig. Gyakorlatilag viszont rövidebb a következő: az átló a már meglevő -ből kimetszi a parallelogramma középpontját, és ekkor , , kimetszi -et, , -et.
II. megoldás. A következő megoldásban a segédtétel megfordítását használjuk fel: ismerve egy szakasz végpontjait és a felezőpontját, a sík tetszőleges pontján át megszerkeszthető a szakasszal párhuzamos egyenes. A bizonyítást az 1. ábra , és , valamint pontjára mondjuk el, de majd máshogyan alkalmazzuk esetünkre. A lépések: összekötjük az egyenes tetszőleges pontját -vel és -fel, továbbá -t is -vel, ez az egyenes -ből kimetszi -et, és ekkor az , egyenesek metszéspontja ‐ ami nyilván nem azonos -vel ‐ rajta van a keresett párhuzamoson. A fentiek mintájára egyenlő hosszú, egymás után csatlakozó szakaszt állítunk elő ‐ de a parallelogramma egyik átlójával párhuzamos egyenesen. Ezek alapján egyenlő részre oszthatjuk a parallelogramma megfelelő átlószakaszát, és az osztópontokon át bármelyik oldallal párhuzamosan húzott egyenesekkel ismét egybevágó részt kaphatunk.
2. ábra A 2. ábrán az átlók metszéspontja . Csak a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes szerkesztését vázoltuk (, , pontok). Ugyanígy kapható a megfelelő átlóval párhuzamos egyenes az és csúcson át ‐ a metszéspontok és ‐, majd a és egyenes kimetszi a , tükörképeket, továbbá a egyenes -ból -et, -ből -et, és ekkor . Még egy párhuzamost szerkesztünk, pl. -on át -vel, ennek -n levő pontja legyen , így az ötödik egyező szakasz. Legyen végül és metszéspontja , ezt véve vetítési középpontnak, megkapjuk az -t egyenlő részre osztó pontokat. Ezeken át megszerkesztve vagy az -vel, vagy az -vel párhuzamos egyeneseket, ezek mindjárt a kívánt osztóvonalak lesznek.
Megjegyzések. 1. A 2. ábra szerint pl. az egyenesen is könnyen kaphatunk egymás után csatlakozó, egyenlő hosszú szakaszt ‐ és a hálózat bővítésével tetszőleges számút is. Ha ennek alapján a középvonalnak a parallelogrammába eső szakaszát osztjuk egyenlő részre, így különböző alakú, nem egybevágó részekre való fölosztást is mutathatunk: a 3. ábra szerinti részek ─ ha mindegyik valóban trapéz ‐ középvonalaik alapján egyenlő területűek.
3. ábra 2. Felszabadulva a részek egybevágóságának magunkra vállalt ,,nyűgétől'' ‐ ettől a ,,munkahipotézistől'' ‐ a 4. ábrán további két megoldást vázoltunk különböző alakú részeket is tartalmazó felosztásra. Az első azonban kivételesen csupa egybevágó részből is állhat, ha .
4. ábra III. megoldás. Mintának vesszük azt az ismert szerkesztést, ahogyan adott négyzetet át lehet darabolni egyező oldalú négyzetbe (5. ábra): oldalainak felezőpontjait ciklikusan összekötve a következő oldal végpontjával, és a rész közül a derékszögű trapézokat egyesítve a szomszédos derékszögű háromszögek egyikével. A szomszéd kétféle megválasztási lehetősége folytán az újra egyesített részek közös alakja háromszög vagy négyszög lehet.
5. ábra A feldarabolt négyzetnek bármely síkon való, párhuzamos vetítéssel készített képén ugyancsak egyenlőek a területek (csak a kép síkja ne álljon merőlegesen a négyzet síkjára), mert ilyen vetítés mellett a kép és az eredeti területeinek aránya a síkok hajlásszögének koszinuszával egyenlő. Ez a felosztás végső soron az egyenlőségen alapul. Mégsem az -ös szám az egyetlen ilyen, eljárhatunk hasonlóan a egyenlőség alapján is, 2‐2 kis tartományt egybefoglalva (6. ábra).
6. ábra Mindezek az osztóvonalak a föntiek szerint megszerkeszthetők egyetlen egyenes vonalzóval. Megjegyzés. Számos dolgozat felsorolta a felhasznált forrásokat. Legtöbbször szerepeltek: P. O. Sklarszkij ‐ N. N. Csencov ‐ I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek stb. Geom. I. (Planimetria) 65/d feladat; H. Dörrie. A diadalmas matematika 184. old. |