|
Feladat: |
F.2504 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bán Rita , Bóna M. , Boros Z. , Dinnyés Enikő , Edvi T. , Fülöp Tamás , Íjjas Cs. , Kohári Zs. , Kónya Eszter , Kopanecz G. , Kós G. , Magassy A. , Németh-Buhin Á. , Nyers Blanka , Olasz-Szabó M. , Papp 710 Zs. , Pfeil T. , Pintér M. , Regős G. , Ribényi Á. , Szigeti Z. , Varga L. |
Füzet: |
1985/szeptember,
253 - 255. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/december: F.2504 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 2473. feladat megoldásából átvesszük mindazokat a jelöléseket és összefüggéseket, melyek jelenlegi feladatunk megoldásánál felhasználhatók. Az háromszög körülírt körének sugara legyen egységnyi, középpontját jelölje , a . A háromszög szárai által egyenlő részre osztott húr végpontjai , , harmadolópontjai , . Jelöljük továbbá -szel az távolságot.
1. eset. Az egyenesre merőleges húr esetén (lásd ábra) Az derékszögű háromszög oldalaira ‐ mivel ‐ fennáll ahonnan Ha értéke -től -ig folytonosan csökken, akkor alapján tg2φ értéke 0-tól 1/7-ig folytonosan növekszik, hiszen 1-cos2φ növekszik, 1+cos2φ pedig csökken. Ennek következtében x értéke 2-től 7/8-ig folytonosan csökken. E változások szigorúan monoton jellege folytán φ és x között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a mondott intervallumokban. Ez biztosítja, hogy az A kezdőpontú AO félegyenes minden olyan P pontjához, amelyre 7/8<AP<2, találunk a feltételeknek megfelelő ABC háromszöget és húrt úgy, hogy X azonos P-vel.
2. eset. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor az F*G* húr nem merőleges AO-ra. A 2473. feladat megoldása szerint XF1*O∢=F1*AO∢=φ*. Az F1*OX háromszög hasonló az AOF1* háromszöghöz, a hasonlóság alapján Az idézett megoldásban az is szerepel, hogy OF1*=11+8cos2φ, és mivel OA=1, az előbbi aránypárból OX=11+8cos2φ. Ezért | x=AX=1-OX=8cos2φ1+8cos2φ=89+tg2φ. | (0 mindig az F*G* egyenes A-t nem tartalmazó partján van.) Ha tg2φ 0-tól 1/7-ig nő, x értéke 8/9-től 7/8-ig csökken. Az X számára most kapott intervallum része a föntebbinek, ennélfogva azokon az X pontokon megy át 3 harmadolható húr ‐ a két eset szerint külön-külön meghatározható értékek mellett ‐, amelyekre 78<x<89. (Az intervallum hossza 1/72.) A szimmetrikus, ill. a ferde húrhoz tartozó szögekre
| tg φ=132x-1, ill. tg φ*=8x-9. |
K. M. L. 34 (1984) 443. oldal ‐ December havi szám |
|