Kezdőlap


Feladat:	F.2504	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Rita , Bóna M. , Boros Z. , Dinnyés Enikő , Edvi T. , Fülöp Tamás , Íjjas Cs. , Kohári Zs. , Kónya Eszter , Kopanecz G. , Kós G. , Magassy A. , Németh-Buhin Á. , Nyers Blanka , Olasz-Szabó M. , Papp 710 Zs. , Pfeil T. , Pintér M. , Regős G. , Ribényi Á. , Szigeti Z. , Varga L.
Füzet:	1985/szeptember, 253 - 255. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: F.2504

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2473. feladat^{$^{*}$} megoldásából átvesszük mindazokat a jelöléseket és összefüggéseket, melyek jelenlegi feladatunk megoldásánál felhasználhatók.
Az $A B C$ háromszög körülírt körének sugara legyen egységnyi, középpontját jelölje $O$ , a $B A C ∢ = 2 φ$ . A háromszög szárai által $3$ egyenlő részre osztott húr végpontjai $F$ , $G$ , harmadolópontjai $F_{1}$ , $G_{1}$ . Jelöljük továbbá $x$ -szel az $A X$ távolságot.

1. eset. Az

A O

egyenesre merőleges

F G

húr esetén (lásd ábra)

\begin{matrix} X G = 3 x \end{matrix}

O X G

derékszögű háromszög oldalaira ‐ mivel

O A = O G = 1

‐ fennáll

\begin{matrix} | x - 1 |^{2} + 9 x^{2} tg^{2} φ = 1, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{2}{1 + 9 tg^{2} φ}, mivel x \neq 0. \end{matrix}

cos 2 φ

értéke

1

-től

3 / 4

-ig folytonosan csökken, akkor

{t g}^{2}φ=\frac{1 - cos 2 φ}{1 + cos 2 φ}

alapján

{t g}^{2}φ

értéke

0

-tól

1 / 7

-ig folytonosan növekszik, hiszen

1 - cos 2 φ

növekszik,

1 + cos 2 φ

pedig csökken. Ennek következtében

x

értéke

2

-től

7 / 8

-ig folytonosan csökken.
E változások szigorúan monoton jellege folytán

φ

és

x

között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a mondott intervallumokban. Ez biztosítja, hogy az

A

kezdőpontú

A O

félegyenes minden olyan

P

pontjához, amelyre

7 / 8 < A P < 2

, találunk a feltételeknek megfelelő

A B C

háromszöget és húrt úgy, hogy

X

azonos

P

-vel.

2. eset. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor az

F^{*} G^{*}

húr nem merőleges

A O

-ra. A 2473. feladat megoldása szerint

X F_{1}^{*} O ∢ = F_{1}^{*} A O ∢ = φ^{*}

. Az

F_{1}^{*} O X

háromszög hasonló az

A O F_{1}^{*}

háromszöghöz, a hasonlóság alapján

\begin{matrix} \frac{O X}{O F_{1}^{*}} = \frac{O F_{1}^{*}}{O A} . \end{matrix}

Az idézett megoldásban az is szerepel, hogy

O F_{1}^{*} = \frac{1}{\sqrt[]{1 + 8 cos^{2} φ}}

, és mivel

O A = 1

, az előbbi aránypárból

O X = \frac{1}{1 + 8 cos^{2} φ}

. Ezért

\begin{matrix} x = A X = 1 - O X = \frac{8 cos^{2} φ}{1 + 8 cos^{2} φ} = \frac{8}{9 + {t g}^{2}φ} . \end{matrix}

(

0

mindig az

F^{*} G^{*}

egyenes

A

-t nem tartalmazó partján van.) Ha

{t g}^{2}φ0

-tól

1 / 7

-ig nő,

x

értéke

8 / 9

-től

7 / 8

-ig csökken.
Az

X

számára most kapott intervallum része a föntebbinek, ennélfogva azokon az

X

pontokon megy át

3

harmadolható húr ‐ a két eset szerint külön-külön meghatározható értékek mellett ‐, amelyekre

\frac{7}{8} < x < \frac{8}{9}

. (Az intervallum hossza

1 / 72

.)
A szimmetrikus, ill. a ferde húrhoz tartozó szögekre

\begin{matrix} tgφ=\frac{1}{3}\sqrt[]{\frac{2}{x} - 1},  ill.tg φ^{*} = \sqrt[]{\frac{8}{x} - 9} . \end{matrix}

^{$^{*}$}K. M. L. 34 (1984) 443. oldal ‐ December havi szám