Két egész szám közös osztója osztója a különbségüknek is. Tíz egymás utáni egész számból kettőt kiválasztva, ezek különbsége legfeljebb $9$, tehát legnagyobb közös osztójuk is legfeljebb $9$. Ha nem $1$ a legnagyobb közös osztó, akkor az osztható a $2$, $3$, $5$, $7$ számok valamelyikével. De akkor a kiválasztott számok is oszthatók e négy szám valamelyikével. Ha tehát találunk a tíz szám között olyat, amelyik a $2$, $3$, $5$, $7$ számok egyikével sem osztható, amellé bármely másik számot választva a tíz közül, a legnagyobb közös osztó $1$ lesz, vagyis ez a szám a másik kilenchez relatív prím lesz, ahogy a feladat állítja.
Tíz egymás utáni szám között öt páratlan szám van, ezek közül legföljebb kettő (minden harmadik) osztható hárommal, és legföljebb egy-egy öttel és héttel. Mindenképp marad legalább egy páratlan szám, amely sem $3$-mal, sem $5$-tel, sem $7$-tel nem osztható, s ez a szám a fentiek szerint eleget tesz a feladat követelményének.